funkcja wypukła

cheerful2 · Post autor: **cheerful2** » 4 wrz 2012, o 22:03

Czy funkcja wypukła na przedziale \(\displaystyle{ [1,+infty)}\) "osiąga" swoje maksimum w jednym z punktów \(\displaystyle{ 1, +\infty}\)?

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 4 wrz 2012, o 22:15

Funkcja wypukła ma własność unimodalności: do pewnego punktu \(\displaystyle{ x_0}\) jest nierosnąca, od niego dalej niemalejąca (w drugą stronę implikacja nie zachodzi).

Dysponując tymi informacjami sama sobie odpowiedz na postawione pytanie.

cheerful2 · Post autor: **cheerful2** » 4 wrz 2012, o 22:35

Jeśli dobrze rozumiem to "implikacja w drugą stronę " oznacza, że jeśli funkcja jest unimodularna to jest wypukła?

Czyli mam maksimum w jednym z punków brzegowych.

szw1710 · Post autor: **szw1710** » 4 wrz 2012, o 22:51

Obie odpowiedzi: TAK.

Funkcje, które są unimodalne w sposób, jaki opisałem, nazywamy quasiwypukłymi. Rozważ np. taką funkcję, która nie jest wypukła, a jest quasiwypukła (i oczywiście unimodalna):

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}|x|&\text{dla }x\in[-1,1]\\ 1&\text{dla pozostałych }x\,.\end{cases}}\)

Unimodalność jest jeszcze możliwa w drugim kierunku: najpierw funkcja niemalejąca, potem nierosnąca. Są to funkcje quasiwklęsłe.

Funkcje jednocześnie quasiwypukłe i quasiwklęsłe są po prostu monotoniczne.

Dobrej nocy.

cheerful2 · Post autor: **cheerful2** » 4 wrz 2012, o 22:58

Dziękuje, bardzo mi to pomogło:)