Znajdź współrzędne środka masy obszaru jednorodnego \(\displaystyle{ D=\left\{ \left( x,y\right) \in R^{2}:0 \le x \le \pi, 0 \le y \le (\ sinx)^{2} \right\}}\)
Wiem, że wzory są takie
\(\displaystyle{ x_s=\frac{M_y}{M}=\frac{\iint_D\rho\, xdxdy}{\iint_D\rho\, dxdy}}\)
\(\displaystyle{ y_s=\frac{M_x}{M}=\frac{\iint_D\rho\, ydxdy}{\iint_D\rho\, dxdy}}\)
infty
gdzie \(\displaystyle{ \rho}\) jest gęstością, a \(\displaystyle{ M_x,M_y}\) są momentami względem odpowiednich osi.
Mój obszar jest jednorodny, czyli, że ma stałą gęstość, a więc można ją wyłączyć przed każdą całkę i uprościć z tego co kojarzę. Mam problem jednak z zastosowaniem tego wzoru
Środekmasy obszaru jednorodnego
-
Igor V
- Użytkownik
- Posty: 1592
- Rejestracja: 16 lut 2011, o 16:48
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Polska
- Podziękował: 18 razy
- Pomógł: 604 razy
Środekmasy obszaru jednorodnego
No ale masz od razu opisane granice,nic tylko wstawiać i liczyć (najpierw po \(\displaystyle{ dy}\) bo \(\displaystyle{ y}\) zależy od funkcji)
-
MalaMi717
- Użytkownik
- Posty: 60
- Rejestracja: 9 lut 2012, o 02:16
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Białystok
- Podziękował: 29 razy
Środekmasy obszaru jednorodnego
Właśnie o to chodzi, że nie rozumiem co mam wstawić i gdzie (miałam to zadanie pierwszy raz na egzaminie) a wcześniej takich nie robiliśmyIgor V pisze:No ale masz od razu opisane granice,nic tylko wstawiać i liczyć (najpierw po \(\displaystyle{ dy}\) bo \(\displaystyle{ y}\) zależy od funkcji)
-
miodzio1988
Środekmasy obszaru jednorodnego
W mianownikach masz przecież pola tego zbioru, bo masz podwójną całkę z jedynki. Co za problem granice wstawić i policzyć?
-
loitzl9006
- Moderator
- Posty: 3040
- Rejestracja: 21 maja 2009, o 19:08
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Starachowice
- Podziękował: 29 razy
- Pomógł: 816 razy
Środekmasy obszaru jednorodnego
Obszar \(\displaystyle{ D}\) od góry ograniczony jest linią \(\displaystyle{ y=\sin^2x}\) , a od dołu \(\displaystyle{ y=0}\) .
Np.
\(\displaystyle{ \iint_D ydxdy = \int_{0}^{ \pi } dx \int_{0}^{\sin^2x} ydy = \int_{0}^{ \pi } \left( \frac{1}{2} y^2 \Biggl| ^{\sin^2x} _{0}\right) dx = \int_{0}^{ \pi } \frac{1}{2} \left( \sin ^{2} x\right) ^{2} dx = \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{ \pi } \sin^4xdx \\ \\ \int \sin^4xdx = \int \sin^2x \cdot \sin^2x dx}\)
Wiadomo, że
\(\displaystyle{ \cos2x = \cos^2x-\sin^2x \\ \cos2x = 1-2\sin^2x \\ \sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2} \\ \sin^4x = \left( \frac{1}{2} - \frac{\cos2x}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{\cos2x}{2} + \frac{\cos^22x}{4} \\ \cos4x = \cos^22x - \sin^22x \\ \cos^22x = \frac{\cos4x+1}{2} \\ \sin^4x = \frac{1}{4} - \frac{\cos2x}{2} + \frac{\cos4x+1}{8} \\ \int \sin^4xdx = \int \left( \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos2x}{2} + \frac{3}{8}\right) dx \\ \int \sin^4xdx = \frac{1}{32} \sin4x - \frac{1}{4} \sin2x + \frac{3}{8} x +C \\ \int_{0}^{ \pi } \sin^4xdx = \frac{1}{32} \sin4 \pi - \frac{1}{4} \sin2 \pi + \frac{3}{8} \pi -\sin 0 + \frac{1}{4} \sin 0 - \frac{3}{8} \cdot 0 = \frac{3}{8} \pi \\ \frac{1}{2} \int_{0}^{ \pi } \sin^4xdx = \frac{3}{16} \pi}\)
Całki w mianownikach to pola obszaru \(\displaystyle{ D}\), liczysz je tym samym schematem który rozpisałem, podobnie jak całkę \(\displaystyle{ \iint_D xdxdy}\). Tak jak obliczając całkę którą rozpisałem, doszedłem w końcu do \(\displaystyle{ \int \sin^4xdx}\), tak obliczając \(\displaystyle{ \iint_D xdxdy}\), dojdziesz pewnie do całki postaci \(\displaystyle{ \int x \cdot \sin^2xdx}\) - możesz ją obliczyć przez części, różniczkując \(\displaystyle{ x}\) i całkując \(\displaystyle{ \sin^2x}\). Gęstości \(\displaystyle{ \rho}\) najlepiej od razu skrócić (bo są stałe).
Np.
\(\displaystyle{ \iint_D ydxdy = \int_{0}^{ \pi } dx \int_{0}^{\sin^2x} ydy = \int_{0}^{ \pi } \left( \frac{1}{2} y^2 \Biggl| ^{\sin^2x} _{0}\right) dx = \int_{0}^{ \pi } \frac{1}{2} \left( \sin ^{2} x\right) ^{2} dx = \\ =\frac{1}{2} \int_{0}^{ \pi } \sin^4xdx \\ \\ \int \sin^4xdx = \int \sin^2x \cdot \sin^2x dx}\)
Wiadomo, że
\(\displaystyle{ \cos2x = \cos^2x-\sin^2x \\ \cos2x = 1-2\sin^2x \\ \sin^2x = \frac{1-\cos2x}{2} \\ \sin^4x = \left( \frac{1}{2} - \frac{\cos2x}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} - \frac{\cos2x}{2} + \frac{\cos^22x}{4} \\ \cos4x = \cos^22x - \sin^22x \\ \cos^22x = \frac{\cos4x+1}{2} \\ \sin^4x = \frac{1}{4} - \frac{\cos2x}{2} + \frac{\cos4x+1}{8} \\ \int \sin^4xdx = \int \left( \frac{\cos4x}{8} - \frac{\cos2x}{2} + \frac{3}{8}\right) dx \\ \int \sin^4xdx = \frac{1}{32} \sin4x - \frac{1}{4} \sin2x + \frac{3}{8} x +C \\ \int_{0}^{ \pi } \sin^4xdx = \frac{1}{32} \sin4 \pi - \frac{1}{4} \sin2 \pi + \frac{3}{8} \pi -\sin 0 + \frac{1}{4} \sin 0 - \frac{3}{8} \cdot 0 = \frac{3}{8} \pi \\ \frac{1}{2} \int_{0}^{ \pi } \sin^4xdx = \frac{3}{16} \pi}\)
Całki w mianownikach to pola obszaru \(\displaystyle{ D}\), liczysz je tym samym schematem który rozpisałem, podobnie jak całkę \(\displaystyle{ \iint_D xdxdy}\). Tak jak obliczając całkę którą rozpisałem, doszedłem w końcu do \(\displaystyle{ \int \sin^4xdx}\), tak obliczając \(\displaystyle{ \iint_D xdxdy}\), dojdziesz pewnie do całki postaci \(\displaystyle{ \int x \cdot \sin^2xdx}\) - możesz ją obliczyć przez części, różniczkując \(\displaystyle{ x}\) i całkując \(\displaystyle{ \sin^2x}\). Gęstości \(\displaystyle{ \rho}\) najlepiej od razu skrócić (bo są stałe).