Jak wykazać, ze funkcja:
\(\displaystyle{ t\left(e^{1 / t}-1\right)-1}\), dla \(\displaystyle{ t\geq 1}\)
nie przekracza \(\displaystyle{ 1}\)
funkcja ograniczona
-
lightinside
- Użytkownik
- Posty: 795
- Rejestracja: 25 lis 2011, o 22:25
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań/Łódź
- Podziękował: 111 razy
- Pomógł: 29 razy
funkcja ograniczona
Powinno się, obliczyć granicę w nieskończoności, udowodnić że f jest monotoniczna dla \(\displaystyle{ t\in[1,+\infty]}\)
i przy okazji obliczyć wartość dla \(\displaystyle{ t=1}\)
i przy okazji obliczyć wartość dla \(\displaystyle{ t=1}\)
-
cheerful2
- Użytkownik
- Posty: 38
- Rejestracja: 1 maja 2012, o 22:52
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Kraków
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 1 raz
funkcja ograniczona
Liczę pochodną funkcji powiedzmy \(\displaystyle{ f(t)= t\left(e^{1 / t}-1\right)-1}\),
mam:
\(\displaystyle{ f'(t)=-1 + e^{1/t} - \frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}}\)
natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}{f(t)}=\lim_{t\to\infty}e^{1/t}-1-\frac{1}{t}=0}\)
oraz \(\displaystyle{ f(1)=e-2}\),
aby wykazać monotoniczność <funkcja maleje> powinnam sprawdzić czy:
\(\displaystyle{ -1 + e^{1/t} - \frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}\leq 0}\)
jakieś wskazówki jak to ładnie rozpisać?-- 4 wrz 2012, o 21:25 --Tak się zastanawiam czy nie wystarczy stwierdzić, iż funkcja jest wypukła zatem będzie osiągać maksimum na "krańcu" przedziału?
mam:
\(\displaystyle{ f'(t)=-1 + e^{1/t} - \frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}}\)
natomiast
\(\displaystyle{ \lim_{t\to\infty}{f(t)}=\lim_{t\to\infty}e^{1/t}-1-\frac{1}{t}=0}\)
oraz \(\displaystyle{ f(1)=e-2}\),
aby wykazać monotoniczność <funkcja maleje> powinnam sprawdzić czy:
\(\displaystyle{ -1 + e^{1/t} - \frac{e^{\frac{1}{t}}}{t}\leq 0}\)
jakieś wskazówki jak to ładnie rozpisać?-- 4 wrz 2012, o 21:25 --Tak się zastanawiam czy nie wystarczy stwierdzić, iż funkcja jest wypukła zatem będzie osiągać maksimum na "krańcu" przedziału?