Kilka pytań teoretycznych.

[laewqq]

1. Czy każda funkcja ciągła posiada funkcje pierwotną ?
2. czy jeśli \(\displaystyle{ f}\) jest całkowana w sensie Riemana to czy również \(\displaystyle{ \left| f\right|}\) jest całkowalna w sensie Riemana ?
3. Czy każda funkcja która osiąga wartości najmniejsze i największe musi być ciągła ?
{Wydaje mi się, że nie musi być}
4. Czy dla dowolnej funkcji ciągłej ktróra przyjmuje wartości dodatnie i ujemne istnieje liczba rzeczywista taka, że \(\displaystyle{ f\left( x\right)=0}\) ?
5. Czy jeśli funkcja \(\displaystyle{ f:R->R}\) jest różniczkowalna i odwracalna to czy jej funkcja odwrotna jest różniczkowalna ?
{Tutaj znalazłem twierdzenie które mówi, że jeśli funkcja jest zdefiniowana na odcinku domkniętym oraz jest różniczkowalan i odwracalna to jej funkcja odwrotna jest też rózniczkowalna, ale nie wiem czy to można zastosować gdy dziedziną i kodziedziną funkcji jest cały zbiór liczb rzeczywistych.}
6. Czy każda funkcja monotoniczna i ciągła jest różniczkowalna ?
{Wiem, że istnieją funkcje ciągłe które nie są różniczkowalne, ale nie jestem pewien co jeśli funkcja dodatkowo jest monotoniczna.}

[Spektralny]

1. tak - \(\displaystyle{ F(x)=\int_{x_0}^x f(t) dt}\); \(\displaystyle{ F^\prime = f}\).
2. tak
3. nie: \(\displaystyle{ f(1)=5}\), \(\displaystyle{ f(x)=7}\) dla \(\displaystyle{ x\neq 1}\);
4. tak - to jest własność Darboux funkcji ciągłych określonych na zbiorze spójnym
5. nie (na ogół), np. \(\displaystyle{ f(x)=x^3}\);
6. nie (na ogół) \(\displaystyle{ f(x)=0}\) dla \(\displaystyle{ x<0}\); \(\displaystyle{ f(x)=x}\) dla \(\displaystyle{ x\in [0,1]}\); \(\displaystyle{ f(x)=1}\) dla \(\displaystyle{ x>1}\).

[szw1710]

1. Tak. Np. \(\displaystyle{ F(x)=\int_a^x f(t)\,\dd t}\) jest pierwotną dla \(\displaystyle{ f:[a,b]\to\RR}\) w przedziale \(\displaystyle{ (a,b).}\)

2. Tak. Na odwrót nie, bo można wziąć funkcję

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1&\text{dla }x\in\QQ\\ -1&\text{dla }x\not\in\QQ\,,\end{cases}}\)

której moduł to stale jedynka i jest całkowalny, a sama funkcja nie jest całkowalna na żadnym przedziale.

3. Oczywiście nie. Zobacz powyższy przykład.

4. Tak - twierdzenie Bolzano-Cauchy'ego. Oczywiście dziedziną musi być przedział. Inaczej teza może nie zachodzić:

\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}1&\text{dla }x>0\\ -1&\text{dla }x<0\end{cases}}\)

jest funkcją ciągłą w zbiorze \(\displaystyle{ \RR\setminus\{0\}.}\)

5. Spektralny jużpowiedział Poszukaj kontrprzykładu.

6. Nie - wyobraź sobie linię łamaną przebiegającą rosnąco.

[laewqq]

Dziękuje za szybką i rzetelną odpowiedź

[szw1710]

Porównując odpowiedzi moją i Spektralnego zauważ, że na prostej wszystkie zbiory spójne są przedziałami, także w sensie rozszerzonym, tj. półproste i cała prosta też.