istnienie pochodnej funkcji określonej jako całka

[K.Inc.]

Rozważamy funkcję \(\displaystyle{ F(x) = \int_{0}^{x} g(t) dt}\), gdzie \(\displaystyle{ x \in [0, 1]}\)
Pytamy czy istnieje \(\displaystyle{ F'_{+}(0)}\), jeśli tak jaką ma wartość.

Jest to uogólniona treść pewnego zadania egzaminacyjnego. Moje pytanie:
Czego wymaga autor zadania? Inaczej mówiąc, jak zabrać się za rozwiązanie tego zadania?
Będę wdzięczny za podpowiedzi i sugestie.

EDIT:
Prawdopodobnie zostanę przekierowane tutaj:
298501.htm#p4929459

Jednak nie do końca rozumiem jak odnieść się do mojego przypadku.
Czy polega to na napisaniu takiej linijki:
\(\displaystyle{ F'_{+}(0) = lim_{x \rightarrow 0^{+} } f(x)}\) i obliczeniu tej granicy?

[zidan3]

Z definicji może?
\(\displaystyle{ F_{+}'(0)=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{\int_{0}^{0+h}g(t)\mbox{d}t-\int_{0}^{0}g(t)\mbox{d}t}{h}=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{\int_{0}^{h}g(t)\mbox{d}t}{h} \stackrel{H}{=}\lim_{h \to 0^{+}}g(h)}\)

I jeżeli coś wiemy o funkcji \(\displaystyle{ g}\) to liczymy ostatnią granice. Jeśli istnieje skończona to z twierdzenia de L'Hospitala...

[K.Inc.]

Z definicji może?
\(\displaystyle{ F_{+}'(0)=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{\int_{0}^{0+h}g(t)\mbox{d}t-\int_{0}^{0}g(t)\mbox{d}t}{h}=\lim_{h \to 0^{+}}\frac{\int_{0}^{h}g(t)\mbox{d}t}{h} \stackrel{H}{=}\lim_{h \to 0^{+}}g(h)}\)

I jeżeli coś wiemy o funkcji \(\displaystyle{ g}\) to liczymy ostatnią granice. Jeśli istnieje to z twierdzenia de L'Hospitala...

Czy ten de l'Hospital jest uzasadniony? w zasadzie badamy istnienie pochodnej , to czy możemy po prostu uznać, że bierzemy funkcję podcałkową - koniec?

[zidan3]

Wystarczy nam ciągłość \(\displaystyle{ g}\) w \(\displaystyle{ x_0}\), żeby \(\displaystyle{ F'(x_0)=g(x_0)}\) (Dowód tego dość prosty. Nawet możliwe, że jest w tamtym temacie Luki52)

[K.Inc.]

Czyli konkretnie jeśli w zadaniu rozważam \(\displaystyle{ g(t) = t\cdot \ln(t)}\),
to badam czy \(\displaystyle{ g}\) jest ciągła w \(\displaystyle{ x_{0} = 0}\)
tutaj problem bo \(\displaystyle{ \lim_{x \to 0^{+}} x \cdot \ln(x) = 0}\), ale to jeszcze nie wystarcza na ciągłość (?)
w każdym razie nie wyliczę dokładnie wartości \(\displaystyle{ g(x_0)}\) mogę tylko znaleźć granicę przy \(\displaystyle{ x \rightarrow 0}\).
Czy ja czegoś nie widzę, czy jest to przypadek troszkę bardziej subtelny?

[luka52]

W tym przypadku warto określić wartość funkcji \(\displaystyle{ g}\) w \(\displaystyle{ x = 0}\) tak by była określona na przedziale domkniętym i można było określić jej całkę Riemanna. Jednak wcale nie musi być ona ciągła (prawostronnie) w \(\displaystyle{ x = 0}\), nie wpłynie to w żaden sposób na wartość \(\displaystyle{ F'( 0^+)}\).