Witam
Mam problem z zadaniem:
Liczba naturalna n przy dzieleniu przez 3 daje resztę 2, a przy dzieleniu przez 7 resztę 5. Wyznacz resztę z dzielenia z tej liczby przez 21.
Mógłby ktoś pomóc?? Z góry dziękuję...
Liczba naturalna n...
-
BettyBoo
- Użytkownik
- Posty: 5354
- Rejestracja: 10 kwie 2009, o 10:22
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Gliwice
- Pomógł: 1381 razy
Liczba naturalna n...
Zadanie można rozwiązać albo "na palcach" albo z wykorzystaniem chińskiego twierdzenia o resztach.
"Na palcach":
Skoro mowa o reszcie z dzielenia, to wystarczy rozpatrywać jako możliwe odpowiedzi liczby całkowite między 0 i 20.
No to - skoro dzieląc przez 3 otrzymujemy 2, to szukana liczba jest postaci 3k+2, więc może nią być tylko jedna z następujących: 2,5,8,11,14,17,20
Ponieważ dodatkowo jest ona postaci 7l+5, to znaczy, że jest to jedna z liczb 5,12,19
Widać zatem, że chodzi o liczbę 5.
Pozdrawiam.
"Na palcach":
Skoro mowa o reszcie z dzielenia, to wystarczy rozpatrywać jako możliwe odpowiedzi liczby całkowite między 0 i 20.
No to - skoro dzieląc przez 3 otrzymujemy 2, to szukana liczba jest postaci 3k+2, więc może nią być tylko jedna z następujących: 2,5,8,11,14,17,20
Ponieważ dodatkowo jest ona postaci 7l+5, to znaczy, że jest to jedna z liczb 5,12,19
Widać zatem, że chodzi o liczbę 5.
Pozdrawiam.
Liczba naturalna n...
Wiem, że temat jest założony dość dawno, ale może się przydać wielu osobom, bo to dość znany typ zadania. Ja przedstawię nieco inne rozwiązanie.
Zapiszmy:
\(\displaystyle{ n = 3k + 2}\)
\(\displaystyle{ n = 7l + 5}\) gdzie \(\displaystyle{ k, l \in \mathbb{N}}\)
Postaramy się doprowadzić ten układ równań do postaci
\(\displaystyle{ n = 21c + r}\) gdzie \(\displaystyle{ c \in \mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ r}\) to szukana reszta
Oczywiście należy pamiętać, że \(\displaystyle{ 0 \le r < 21}\)
Zauważmy, że gdy pomnożymy pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 7}\), a drugie przez \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ 7n = 21k + 14\\
3n = 21l + 15}\)
a następnie odejmiemy stronami, uzyskamy takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ 4n = 21(k-l) - 1}\)
Wygląda prawie tak, jak chcemy, jednak \(\displaystyle{ L=4n}\) zamiast \(\displaystyle{ L=n}\). Jednak podobny efekt uzyskamy, mnożąc I równanie przez dowolną wielokrotność \(\displaystyle{ 7}\), a II przez dowolną wielokrotność \(\displaystyle{ 3}\). Poszukajmy więc takich wielokrotności, aby po wymnożeniu i odjęciu stronami \(\displaystyle{ L=n}\). Tak jest w przypadku mnożenia przez odpowiednio \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 2 \cdot 3}\):
\(\displaystyle{ 7n = 21 \cdot k + 14\\
6n = 21 \cdot 2l + 30}\)
Odejmujemy stronami:
\(\displaystyle{ n = 21(k-2l) -16}\)
Reszta musi być dodatnia, więc:
\(\displaystyle{ n = 21(k-2l) -16 + 21 - 21\\
n = 21(k-2l-1) + 5}\)
Poszukiwaną resztą jest zatem \(\displaystyle{ 5}\) .
Zapiszmy:
\(\displaystyle{ n = 3k + 2}\)
\(\displaystyle{ n = 7l + 5}\) gdzie \(\displaystyle{ k, l \in \mathbb{N}}\)
Postaramy się doprowadzić ten układ równań do postaci
\(\displaystyle{ n = 21c + r}\) gdzie \(\displaystyle{ c \in \mathbb{Z}}\), \(\displaystyle{ r}\) to szukana reszta
Oczywiście należy pamiętać, że \(\displaystyle{ 0 \le r < 21}\)
Zauważmy, że gdy pomnożymy pierwsze równanie przez \(\displaystyle{ 7}\), a drugie przez \(\displaystyle{ 3}\)
\(\displaystyle{ 7n = 21k + 14\\
3n = 21l + 15}\)
a następnie odejmiemy stronami, uzyskamy takie wyrażenie:
\(\displaystyle{ 4n = 21(k-l) - 1}\)
Wygląda prawie tak, jak chcemy, jednak \(\displaystyle{ L=4n}\) zamiast \(\displaystyle{ L=n}\). Jednak podobny efekt uzyskamy, mnożąc I równanie przez dowolną wielokrotność \(\displaystyle{ 7}\), a II przez dowolną wielokrotność \(\displaystyle{ 3}\). Poszukajmy więc takich wielokrotności, aby po wymnożeniu i odjęciu stronami \(\displaystyle{ L=n}\). Tak jest w przypadku mnożenia przez odpowiednio \(\displaystyle{ 7}\) i \(\displaystyle{ 2 \cdot 3}\):
\(\displaystyle{ 7n = 21 \cdot k + 14\\
6n = 21 \cdot 2l + 30}\)
Odejmujemy stronami:
\(\displaystyle{ n = 21(k-2l) -16}\)
Reszta musi być dodatnia, więc:
\(\displaystyle{ n = 21(k-2l) -16 + 21 - 21\\
n = 21(k-2l-1) + 5}\)
Poszukiwaną resztą jest zatem \(\displaystyle{ 5}\) .
Ostatnio zmieniony 1 wrz 2012, o 19:33 przez Jan Kraszewski, łącznie zmieniany 1 raz.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli. Symbol mnożenia to \cdot.
Powód: Używaj LaTeXa także do pojedynczych symboli. Symbol mnożenia to \cdot.