Niech eta to wartość własna operatora hermitowskiego B:
a) wyznacz wartości własne operatora left( B ^{4}+λI
ight) przy założeniu, że I to operator reprezentowany macierzą jednostkową λ in R
b) pokaż że macierz b i macierz do niej podobna mają ten sam ślad
c) udowodnij, że wektory własne operatora hermitowskiego B, które przynalezą do różnych wartości własnych są do siebie ortogonalne.
Uprzejmie proszę o rozwiązanie tego zadania bo kompletnie nie wiem jak się za to zabrać.
operator hermitowski
-
bzyk12
- Użytkownik
- Posty: 327
- Rejestracja: 18 lut 2009, o 12:19
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Oświęcim/Wawa
- Podziękował: 39 razy
- Pomógł: 43 razy
operator hermitowski
Ok zaczynamy.
\(\displaystyle{ \hat{B} \psi = \beta \psi}\), gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) - wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \beta}\)
a) \(\displaystyle{ \hat{B}^{4} \psi =\hat{B}^{3} \cdot \hat{B} \psi = \hat{B}^{3} \beta \psi = \hat{B}^{2} \cdot \hat{B} \beta \psi = \hat{B}^{2} \beta^{2} \psi=...= \beta^{4} \psi}\)
\(\displaystyle{ \left( \hat{B}^{4} + \lambda \hat{I} \right) \psi = \left( \beta^{4} + \lambda \right) \psi}\)
Wynika z tego, że wektor \(\displaystyle{ \psi}\) jest wektorem własnym powyższego operatora i odpowiadająca mu wartość własna wynosi: \(\displaystyle{ \beta^{4} + \lambda}\)
b) macierz podobna:
\(\displaystyle{ H = S \cdot B \cdot S^{-1}}\)
Najpierw twierdzenie:
\(\displaystyle{ Tr(AB)=Tr(BA)}\)
\(\displaystyle{ Tr(H) = Tr(S \cdot B \cdot S^{-1})=Tr( B \cdot S^{-1} \cdot S) = Tr(B \cdot I) = Tr (B)}\)
c)Oznaczenia:
Iloczyn skalarny dwóch wektorów: \(\displaystyle{ <\psi| \phi>}\)
Definicja operatora hermitowskiego B: \(\displaystyle{ <\psi | B \phi> = < B \psi | \phi>}\)
\(\displaystyle{ B \psi = \beta \psi \\
B \phi = \lambda \phi}\)
\(\displaystyle{ \lambda \left< \psi | \phi \right> = \left< \psi | \lambda \phi \right> = \left< \psi | B \phi \right> = \left< B \psi | \phi \left> = \left< \beta \psi | \phi \right> = \beta^{*} \left< \psi | \phi \right> \Rightarrow (\lambda - \beta^{*}) \left< \psi | \phi \right> = 0 \Rightarrow \left< \psi | \phi \right> = 0}\)
bo nie może być \(\displaystyle{ \lambda = \beta^{*}}\)
a z tego że iloczyn skalarny jest równy 0 wynika że te dwa wektory są do siebie prostopadłe
\(\displaystyle{ \hat{B} \psi = \beta \psi}\), gdzie \(\displaystyle{ \psi}\) - wektor własny odpowiadający wartości własnej \(\displaystyle{ \beta}\)
a) \(\displaystyle{ \hat{B}^{4} \psi =\hat{B}^{3} \cdot \hat{B} \psi = \hat{B}^{3} \beta \psi = \hat{B}^{2} \cdot \hat{B} \beta \psi = \hat{B}^{2} \beta^{2} \psi=...= \beta^{4} \psi}\)
\(\displaystyle{ \left( \hat{B}^{4} + \lambda \hat{I} \right) \psi = \left( \beta^{4} + \lambda \right) \psi}\)
Wynika z tego, że wektor \(\displaystyle{ \psi}\) jest wektorem własnym powyższego operatora i odpowiadająca mu wartość własna wynosi: \(\displaystyle{ \beta^{4} + \lambda}\)
b) macierz podobna:
\(\displaystyle{ H = S \cdot B \cdot S^{-1}}\)
Najpierw twierdzenie:
\(\displaystyle{ Tr(AB)=Tr(BA)}\)
\(\displaystyle{ Tr(H) = Tr(S \cdot B \cdot S^{-1})=Tr( B \cdot S^{-1} \cdot S) = Tr(B \cdot I) = Tr (B)}\)
c)Oznaczenia:
Iloczyn skalarny dwóch wektorów: \(\displaystyle{ <\psi| \phi>}\)
Definicja operatora hermitowskiego B: \(\displaystyle{ <\psi | B \phi> = < B \psi | \phi>}\)
\(\displaystyle{ B \psi = \beta \psi \\
B \phi = \lambda \phi}\)
\(\displaystyle{ \lambda \left< \psi | \phi \right> = \left< \psi | \lambda \phi \right> = \left< \psi | B \phi \right> = \left< B \psi | \phi \left> = \left< \beta \psi | \phi \right> = \beta^{*} \left< \psi | \phi \right> \Rightarrow (\lambda - \beta^{*}) \left< \psi | \phi \right> = 0 \Rightarrow \left< \psi | \phi \right> = 0}\)
bo nie może być \(\displaystyle{ \lambda = \beta^{*}}\)
a z tego że iloczyn skalarny jest równy 0 wynika że te dwa wektory są do siebie prostopadłe