Zadanie wprost ze zbioru Kaczor, Nowak cz.2
1.5.2 (b) \(\displaystyle{ \newline}\)
Zbadać jednostajną ciągłość funkcji \(\displaystyle{ f(x)=xsin(x)}\) na \(\displaystyle{ [0, infty)}\)
Odpowiedź sugerowana:
rozważamy ciągi \(\displaystyle{ x_n = 2\pi n}\), \(\displaystyle{ y_n = 2 \pi n + \frac{1}{n}}\)
jako, że \(\displaystyle{ |x_n - y_n| \rightarrow 0}\), a \(\displaystyle{ |f(x_n) - f(y_n)| \rightarrow 2 \pi}\), to \(\displaystyle{ f}\) nie jest jednostajnie ciągła.
(oczywiście wszędzie zbiegamy \(\displaystyle{ n \rightarrow \infty}\))
Rozumiem dlaczego to ma nie działać, ale nie mam pojęcia jak pokazać \(\displaystyle{ |f(x_n) - f(y_n)| \rightarrow 2 \pi}\).
Mamy:
\(\displaystyle{ |f(x_n) - f(y_n)| =}\)
\(\displaystyle{ = |2 \pi n \cdot sin(2 \pi n) - (2 \pi n + \frac{1}{n}) \cdot sin(2 \pi n + \frac{1}{n})| =}\)
i już nie widzę tego dalej. Jest wyrażenie nieoznaczone \(\displaystyle{ 0 \cdot \infty}\), którego nie mogę się pozbyć.
Będę ogromnie wdzięczny za sugestie i podpowiedzi, jak można próbować wyliczyć tę granicę.
Jednostajna ciągłość funkcji
-
Rumek
- Użytkownik
- Posty: 95
- Rejestracja: 12 kwie 2011, o 12:51
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Katowice
- Podziękował: 3 razy
- Pomógł: 20 razy
Jednostajna ciągłość funkcji
\(\displaystyle{ \sin(2 \pi n)=0}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ \cos(2 \pi n)=1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n\sin\left(\frac{1}{n}\right)=1}\)
a na początek radzę zastosować wzór na \(\displaystyle{ \sin(x+y)}\)
\(\displaystyle{ \cos(2 \pi n)=1}\) dla \(\displaystyle{ n\in\mathbb{N}}\)
\(\displaystyle{ \lim_{n\to\infty}n\sin\left(\frac{1}{n}\right)=1}\)
a na początek radzę zastosować wzór na \(\displaystyle{ \sin(x+y)}\)
-
K.Inc.
- Użytkownik
- Posty: 191
- Rejestracja: 3 mar 2007, o 15:34
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: PT
- Podziękował: 8 razy
- Pomógł: 13 razy
Jednostajna ciągłość funkcji
Ok, mam więc:
\(\displaystyle{ 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) - (2 \pi n + \frac{1}{n} ) \cdot \sin(2 \pi n + \frac{1}{n} ) =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) - 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) \cdot \cos (\frac{1}{n}) - 2 \pi n \cdot \cos(2 \pi n) \sin(\frac{1}{n}) -}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} \sin(2 \pi n) \cos(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n} \cos (2 \pi n) sin(\frac{1}{n}) =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \pi n \sin (2 \pi n) (1 - \cos(\frac{1}{n})) - 2\pi \cdot \cos(2 \pi n) \cdot n \sin(\frac{1}{n}) -}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} \cdot sin(2 \pi n) \cdot cos(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n} \cdot \cos(2 \pi n) \cdot \sin(\frac{1}{n})}\)
W sposób dość oczywisty zachodzą poniższe zbieżności:
\(\displaystyle{ 2\pi \cdot \cos(2 \pi n) \cdot n \sin(\frac{1}{n}) \rightarrow 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot sin(2 \pi n) \cdot cos(\frac{1}{n}) \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \cos(2 \pi n) \cdot \sin(\frac{1}{n}) \rightarrow 0}\)
Pozostaje skomentować:
\(\displaystyle{ 2 \pi n \sin (2 \pi n) (1 - \cos(\frac{1}{n})) \rightarrow^{?} 0}\)
tu kolejny zastój, jest jakiś oczywisty powód?
\(\displaystyle{ 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) - (2 \pi n + \frac{1}{n} ) \cdot \sin(2 \pi n + \frac{1}{n} ) =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) - 2 \pi n \cdot \sin(2 \pi n) \cdot \cos (\frac{1}{n}) - 2 \pi n \cdot \cos(2 \pi n) \sin(\frac{1}{n}) -}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} \sin(2 \pi n) \cos(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n} \cos (2 \pi n) sin(\frac{1}{n}) =}\)
\(\displaystyle{ = 2 \pi n \sin (2 \pi n) (1 - \cos(\frac{1}{n})) - 2\pi \cdot \cos(2 \pi n) \cdot n \sin(\frac{1}{n}) -}\)
\(\displaystyle{ - \frac{1}{n} \cdot sin(2 \pi n) \cdot cos(\frac{1}{n}) - \frac{1}{n} \cdot \cos(2 \pi n) \cdot \sin(\frac{1}{n})}\)
W sposób dość oczywisty zachodzą poniższe zbieżności:
\(\displaystyle{ 2\pi \cdot \cos(2 \pi n) \cdot n \sin(\frac{1}{n}) \rightarrow 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot sin(2 \pi n) \cdot cos(\frac{1}{n}) \rightarrow 0}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{n} \cdot \cos(2 \pi n) \cdot \sin(\frac{1}{n}) \rightarrow 0}\)
Pozostaje skomentować:
\(\displaystyle{ 2 \pi n \sin (2 \pi n) (1 - \cos(\frac{1}{n})) \rightarrow^{?} 0}\)
tu kolejny zastój, jest jakiś oczywisty powód?