Obliczyć moment bezwładności okręgu o promieniu r...

[rolnik41]

... względem średnicy okręgu, przyjmując stałą gęstość liniową.

A więc powinienem skorzystać ze wzoru na moment bezwładnośći łuku krzywej który wyraża się wzorem: \(\displaystyle{ I _{x}= \int_{(A)}^{(B)} \lambda y ^{2}dL}\) ? A jak mam dobrać przedział całkowania i czy skorzystać z równania parametrycznego na okrąg czy ogólnego?

[octahedron]

\(\displaystyle{ dL=r\,d\varphi\\
y=r\sin\varphi\\
I_o=\int_A^B \lambda y^2\, dL=\int_0^{2\pi}\lambda r^3\sin^2\varphi\,d\varphi=\pi\lambda r^3}\)

[rolnik41]

Czyli ten wzór jest dla współrzędnych biegunowych? A jak by wyglądał moment bezwładności koła? Można to zrobić wykorzystując parametryczne równanie okręgu?

[octahedron]

Dla koła:
\(\displaystyle{ dS=r\,drd\varphi\\
y=r\sin\varphi\\
I_o=\int_S \lambda y^2\, dS=\int_0^{2\pi}\int_0^R\lambda r^3\sin^2\varphi\,drd\varphi=\frac{1}{4}\pi\lambda R^4}\)

[rolnik41]

A moge zrobić tak?:

Korzystam ze wzoru na moment bezwładności trapezu krzywoliniowego:

\(\displaystyle{ I _{x}= \frac{1}{3} \rho \int_{a}^{b}y ^{3}dx}\)

Przechodzę na układ biegunowy:

\(\displaystyle{ x=rcos \alpha}\)

\(\displaystyle{ dx=-rsin \alpha d \alpha}\)

\(\displaystyle{ y=rsin \alpha}\)

Podstawiam do wzoru na moment:

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I _{x}= -\frac{1}{3} \rho \int_{0}^{ \pi }\ (rsin \alpha) ^{3}rsin \alpha d \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I _{x}= -\frac{1}{3} \rho r ^{4} \int_{0}^{ \pi }\sin^{4} \alpha d \alpha}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} I _{x}= \frac{1}{3} \rho r ^{4} \left[ \frac{1}{4}sin ^{3} \alpha cos \alpha + \frac{3}{8}sin \alpha cos \alpha - \frac{3}{8} \alpha \right] _{0} ^{ \pi }}\)

\(\displaystyle{ I _{x}=- \frac{1}{4}\rho \pi r ^{4}}\)


Wynik różni się minusem. Jak to interpretować? Błąd w obliczeniach czy błąd rzeczowy?
Pozdr.

[octahedron]

Koło nie trapezem krzywoliniowym, więc ten wzór nie działa. Poza tym zmiana współrzędnych jest źle zrobiona.

[rolnik41]

Polokrag nie jest szczególnym przypadkiem trapezu krzywoliniowego? Definicja z Krysickiego:

Jeżeli \(\displaystyle{ y=f(x)}\) jest funkcją ciągłą w przedziale \(\displaystyle{ a \le x \le b}\), przybierającą w tym przedziale wartości nieujemne, i jeżeli \(\displaystyle{ A'A}\) jest rzędną początkową krzywej a w punkcie \(\displaystyle{ x=a}\) a \(\displaystyle{ B'B}\) jest rzędną końcową tej krzywej w punkcie \(\displaystyle{ x=b}\) to moment bezwładności trapezu krzywoliniowego \(\displaystyle{ A'ABB'}\)względem osi Ox czyli obszaru ograniczonego odcinkiem \(\displaystyle{ A'B'}\) osi ox, rzędnymi \(\displaystyle{ A'a}\) i \(\displaystyle{ B'b}\) oraz łukiem AB krzyej \(\displaystyle{ y=f(x)}\) wyraża się całką: \(\displaystyle{ I _{x}= \frac{1}{3} \rho \int_{a}^{b}y ^{3}dx}\)

Czy jest powiedziane że odcinki \(\displaystyle{ A'A}\) i \(\displaystyle{ B'B}\) muszą być większe od zera tzn że te punkty nie mogą sie pokrywać a funkcja \(\displaystyle{ y=f(x)}\) nie może być taką funkcją :\(\displaystyle{ y= \sqrt{r ^{2}-x ^{2} }}\) ? Wydaję mi się że powyższa definicja nie wyklucza możliwości zastosowanie tego wzoru.

W takim razie jak powinna wyglądać zamiana współrzędnych?

[octahedron]

No oczywiście jest trapezem krzywoliniowym, coś mnie zaćmiło. Ale to przejście na współrzędne biegunowe nie jest tutaj możliwe, bo mamy całkę pojedynczą, nie podwójną.

[rolnik41]

To dlaczego w sposób analogiczny rozwiązałeś zadanie w pierwszym twoim poście? Tam też masz całkę pojedynczą a zastosowałeś układ biegunowy...

[octahedron]

Bo to nie był układ biegunowy, po prostu liczę długość łuku w funkcji kąta: \(\displaystyle{ L=r\varphi \Rightarrow dL=r\,d\varphi}\), tutaj w ogóle nie korzystam z żadnego układu współrzędnych.