Trygonometryczna całka

[Glo]

Mam do policzenia:

\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}}\)

Dopełniam mianownik do kwadratu i dostaję:


\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{(\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 -2\sin ^2 x \cos^2 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{1-2\sin ^2 x \cos^2 x}}\)

Teraz wykonuję podstawienie \(\displaystyle{ t=sinx \Rightarrow dt=\cos x dx}\)

\(\displaystyle{ \int \frac {tdt}{1-t^2(1-t^2)}=\int \frac{tdt}{(\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2})^2+\frac{1}{2}}}\)

Robię kolejne podstawienie: \(\displaystyle{ a=\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow da=2\sqrt2 tdt}\)

\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt2} \int \frac{da}{a^2+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt2} \sqrt2 \arctg (\sqrt2 a) +C =}\)

\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\arctg (\sqrt2\cdot (\sqrt2 t^2 -\frac{\sqrt2}{2})+C=\frac{1}{2}\arctg(2\sin ^2 x - 1) +C}\)

...i zgadza się wszystko za wyjątkiem argumentu arcustangensa, który powinien być \(\displaystyle{ \tg ^2 x}\).

Będę wdzięczny za wskazanie błędu.

[octahedron]

To jednak nie to

[Justka]

Nie ma błędu, wynik jest okay

Gdyby liczyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x }{\sin^4 x + \cos^4 x } dx = \int \frac{ \frac{\sin x}{\cos^3 x} }{ \frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} + 1 }dx = \int \frac{tg x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} }{(tg^2x)^2 + 1 } dx=}\) z podstawieniem \(\displaystyle{ t=tg^2 x}\) wtedy wyjdzie wynik z odpowiedzi.

[Glo]

Czekaj. Jest ok, to dlaczego

\(\displaystyle{ tg^2x \neq 2\sin ^2 x -1}\)

?

Gdyby było dobrze, to wynik powinien być tożsamy.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x }{1-2\sin^2x\cos^2x}\,dx \Rightarrow u=\sin^2x \Rightarrow \frac{1}{2}\int\frac{1}{1-2u(1-u)}\,du=\int\frac{1}{(2u-1)^2+1}\,du=\\
=\frac{1}{2}\int\frac{1}{z^2+1}\,dz=\frac{1}{2}\arctg z+C=\frac{1}{2}\arctg\left(2\sin^2x-1\right)+C}\)

[Glo]

Otóż to. Skąd zatem rozbieżność?

[octahedron]

Na pierwszy rzut oka tego nie widać, ale oba rozwiązania różnią się tylko o stałą, więc oba są poprawne.