Mam do policzenia:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}}\)
Dopełniam mianownik do kwadratu i dostaję:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x}{\sin^4 x + \cos^4 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{(\sin^2 x + \cos ^2 x)^2 -2\sin ^2 x \cos^2 x}= \int \frac{\sin x \cos x}{1-2\sin ^2 x \cos^2 x}}\)
Teraz wykonuję podstawienie \(\displaystyle{ t=sinx \Rightarrow dt=\cos x dx}\)
\(\displaystyle{ \int \frac {tdt}{1-t^2(1-t^2)}=\int \frac{tdt}{(\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2})^2+\frac{1}{2}}}\)
Robię kolejne podstawienie: \(\displaystyle{ a=\sqrt2 t^2 - \frac{\sqrt2}{2} \Rightarrow da=2\sqrt2 tdt}\)
\(\displaystyle{ \frac{1}{2\sqrt2} \int \frac{da}{a^2+\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt2} \sqrt2 \arctg (\sqrt2 a) +C =}\)
\(\displaystyle{ = \frac{1}{2}\arctg (\sqrt2\cdot (\sqrt2 t^2 -\frac{\sqrt2}{2})+C=\frac{1}{2}\arctg(2\sin ^2 x - 1) +C}\)
...i zgadza się wszystko za wyjątkiem argumentu arcustangensa, który powinien być \(\displaystyle{ \tg ^2 x}\).
Będę wdzięczny za wskazanie błędu.
Trygonometryczna całka
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
- Justka
- Użytkownik
- Posty: 1680
- Rejestracja: 25 sty 2007, o 12:58
- Płeć: Kobieta
- Lokalizacja: Poznań
- Podziękował: 9 razy
- Pomógł: 579 razy
Trygonometryczna całka
Nie ma błędu, wynik jest okay
Gdyby liczyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x }{\sin^4 x + \cos^4 x } dx = \int \frac{ \frac{\sin x}{\cos^3 x} }{ \frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} + 1 }dx = \int \frac{tg x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} }{(tg^2x)^2 + 1 } dx=}\) z podstawieniem \(\displaystyle{ t=tg^2 x}\) wtedy wyjdzie wynik z odpowiedzi.
Gdyby liczyć w ten sposób:
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x }{\sin^4 x + \cos^4 x } dx = \int \frac{ \frac{\sin x}{\cos^3 x} }{ \frac{\sin^4 x}{\cos^4 x} + 1 }dx = \int \frac{tg x \cdot \frac{1}{\cos^2 x} }{(tg^2x)^2 + 1 } dx=}\) z podstawieniem \(\displaystyle{ t=tg^2 x}\) wtedy wyjdzie wynik z odpowiedzi.
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Trygonometryczna całka
\(\displaystyle{ \int \frac{\sin x \cos x }{1-2\sin^2x\cos^2x}\,dx \Rightarrow u=\sin^2x \Rightarrow \frac{1}{2}\int\frac{1}{1-2u(1-u)}\,du=\int\frac{1}{(2u-1)^2+1}\,du=\\
=\frac{1}{2}\int\frac{1}{z^2+1}\,dz=\frac{1}{2}\arctg z+C=\frac{1}{2}\arctg\left(2\sin^2x-1\right)+C}\)
=\frac{1}{2}\int\frac{1}{z^2+1}\,dz=\frac{1}{2}\arctg z+C=\frac{1}{2}\arctg\left(2\sin^2x-1\right)+C}\)
-
- Użytkownik
- Posty: 3568
- Rejestracja: 7 mar 2011, o 22:16
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Wrocław
- Pomógł: 910 razy
Trygonometryczna całka
Na pierwszy rzut oka tego nie widać, ale oba rozwiązania różnią się tylko o stałą, więc oba są poprawne.