Proszę o pomoc z tym zadaniem:
Oblicz wartość oczekiwaną \(\displaystyle{ E(max(X, X^{2} ))}\), gdy zmienna losowa X ma rozkład wykładniczy.
Najpierw liczę dystrybuantę zmiennej losowej Y=\(\displaystyle{ max(X, X^{2} )}\), ale dochodzę do pewnego momentu i nie wiem co dalej Z góry dziękuję za pomoc.
Wartość oczekiwana
Wartość oczekiwana
Udało mi się coś wyliczyć, ale nie jestem pewna czy to dobrze?
Y=\(\displaystyle{ max(X, X^{2})}\)
\(\displaystyle{ F _{Y}(t)=P(Y le t)=P(max(X, X^{2}) le t)=egin{cases}P(X le t) gdy t in [0,1)\P(X^{2} le t) gdy t ge 1end{cases} = egin{cases}P(X le t,X ge 0) gdy t in [0,1)\P(X le sqrt{t} ,X ge 0)) gdy t ge 1end{cases} = egin{cases}P(0 le X le t ) gdy t in [0,1)\P( 0le X le sqrt{t})) gdy t ge 1end{cases}= egin{cases} F _{X}(t) - F_{X}(0) gdy t in [0,1)\F _{X}( sqrt{t}) - F_{X}(0) gdy t ge 1end{cases}}\)
A to zgodnie z tym że X ma rokład wykładniczy jest równe:
\(\displaystyle{ egin{cases}1- e^{-lambda t} gdy t in [0,1)\1- e^{-lambda sqrt{t} } gdy t ge 1end{cases}}\)
Czy powyższe rachunki są poprawne????
Jeśli ta dystrybuanta jest obliczona poprawnie, to by wyliczyć wartość oczekiwaną skorzystam ze wzoru :
\(\displaystyle{ EY= \int_{0}^{ \infty }(1-F_{Y}(t)) dt}\)
Y=\(\displaystyle{ max(X, X^{2})}\)
\(\displaystyle{ F _{Y}(t)=P(Y le t)=P(max(X, X^{2}) le t)=egin{cases}P(X le t) gdy t in [0,1)\P(X^{2} le t) gdy t ge 1end{cases} = egin{cases}P(X le t,X ge 0) gdy t in [0,1)\P(X le sqrt{t} ,X ge 0)) gdy t ge 1end{cases} = egin{cases}P(0 le X le t ) gdy t in [0,1)\P( 0le X le sqrt{t})) gdy t ge 1end{cases}= egin{cases} F _{X}(t) - F_{X}(0) gdy t in [0,1)\F _{X}( sqrt{t}) - F_{X}(0) gdy t ge 1end{cases}}\)
A to zgodnie z tym że X ma rokład wykładniczy jest równe:
\(\displaystyle{ egin{cases}1- e^{-lambda t} gdy t in [0,1)\1- e^{-lambda sqrt{t} } gdy t ge 1end{cases}}\)
Czy powyższe rachunki są poprawne????
Jeśli ta dystrybuanta jest obliczona poprawnie, to by wyliczyć wartość oczekiwaną skorzystam ze wzoru :
\(\displaystyle{ EY= \int_{0}^{ \infty }(1-F_{Y}(t)) dt}\)