objętość bryły obrotowej z funkcji

[stachoo0]

Obliczyć objętość bryły obrotowej powstałej przez obrót wokół OX krzywej \(\displaystyle{ y=\frac{1}{x-1}}\) dla \(\displaystyle{ x\in <1;100>}\)
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{a}^{b}\left(f(x)\right)^2 dx}\)
\(\displaystyle{ V=\pi \int_{1}^{100}\left(\frac{1}{x-1}\right)^2 dx=\pi \int_{1}^{100}\frac{1}{(x-1)^2} dx}\)
rozw. pomocnicze
\(\displaystyle{ \int \frac{1}{(x-1)^2} dx= \begin{cases} u=x-1 \\ du=dx \end{cases} = \int \frac{1}{u^2}du=-\frac{1}{u}+c=-\frac{1}{x-1}+c=\frac{1}{1-x}+c}\)
i dalej
\(\displaystyle{ V=\pi\left[\frac{1}{1-x}\right]_{1}^{100}=\pi\left(\frac{1}{1-100}-\frac{1}{1-1}\right)}\)
i tu już nie wiem co zrobić bo wychodzi dzielenie przez zero

[bzyk12]

Na tym przedziale co podałeś to objętość jest nieskończona

[stachoo0]

na podstawie czego taki wniosek mogę wyciągnąć?

[bzyk12]

Sam tak obliczyłeś. Jak podstawisz 1 to masz nieskończoność. W sumie nie jest to dziwne bo w 1 twoja funkcja ma asymptotę pionową.

[stachoo0]

i nie trzeba w tym przypadku już nic dodatkowo liczyć?

[bzyk12]

Trzeba liczyć i pokazać, że jest nieskończoność bo nie zawsze musi tak być. Przykładowo istnieją obiekty o skończonej objętości, a nieskończonym obwodzie (fraktale).

[stachoo0]

no czyli co teraz mam policzyc zeby to udowodnic?

[bzyk12]

\(\displaystyle{ f(x)= \frac{1}{x-1}}\), \(\displaystyle{ x \in <1+\epsilon^{2}, 100>}\)

\(\displaystyle{ V= \pi \int\limits_{1+\epsilon^{2}}^{100}f^{2}(x)dx= \pi \int\limits_{1+\epsilon^{2}}^{100} \frac{1}{(x-1)^{2}}dx = \pi \left[ \frac{-1}{x-1}\right]^{100}_{1+\epsilon^{2}} = \pi \left[ \frac{-1}{99}+ \frac{1}{\epsilon^{2}} \right]}\)

\(\displaystyle{ \lim_{\epsilon \to 0}V = \lim_{\epsilon \to 0} \pi \left[ \frac{-1}{99}+ \frac{1}{\epsilon^{2}} \right] = + \infty}\)

[stachoo0]

dzięki