miara i nieprzeliczalność zbioru

[lavena]

Proszę o wskazówkę do następującego zadania:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \Sigma, \mu \right)}\) będzie przestrzenią miary skończonej i niech \(\displaystyle{ \left\{ A _{t} \right\} _{t \in T}}\) będzie rodziną zbiorów mierzalnych parami rozłącznych. Wykazać, że zbiór
\(\displaystyle{ T _{0}:=\left\{ t \in T: \mu\left( A _{t} \right)>0 \right\}}\)
jest co najwyżej przeliczalny.

[szw1710]

Inaczej miara nie byłaby skończona. Co powiesz o mierze sumy tych zbiorów?

[lavena]

Właśnie nie mogę do tego dojść. Wiem, że jeśli wezmę przeliczalną sumę, to mogę skorzystać z przeliczalnej addytywności, ale co jeśli wezmę nieprzeliczalną sumę? Czy można stwierdzić od razu że miara takiej sumy jest równa \(\displaystyle{ \infty}\) i jeśli tak to dlaczego?

[szw1710]

Też na to wpadłem zaraz po napisaniu posta Moja "wskazówka" niewiele jednak mówi. Tym niemniej pod skórą czuję, że i tak trzeba uzyskać sprzeczność ze skończonością miary.

Zauważ, że przeliczalność niczemu nie przeczy. Można wziąć sobie ciąg przedziałów otwartych parami rozłącznych o miarach postaci \(\displaystyle{ \frac{1}{n^2}}\), a miara sumy jest sumą szeregu zbieżnego, więc skończona.

[Adifek]

Edit: trochę przekręciłem

Niech \(\displaystyle{ f:Z \rightarrow (0,\infty)}\), gdzie \(\displaystyle{ Z}\) jest nieprzeliczalny. Wtedy Istnieje zbiór przeliczalny \(\displaystyle{ S \subset Z}\) taki, że \(\displaystyle{ \sum_{s\in S}f(s) =\infty}\).

[szw1710]

W ten sposób nie myślałem Przemyślę sobie to, co piszesz.

[norwimaj]

Podzielmy \(\displaystyle{ T_0}\) na zbiory:

\(\displaystyle{ T_1=\left\{ t \in T: \mu\left( A _{t} \right)>1 \right\},}\)

\(\displaystyle{ T_2=\left\{ t \in T: \frac12 < \mu\left(A _{t} \right) \le 1 \right\},}\)

\(\displaystyle{ T_3=\left\{ t \in T: \frac13 < \mu\left( A _{t} \right) \le \frac12 \right\},}\)

\(\displaystyle{ T_4=\left\{ t \in T: \frac14 < \mu\left( A _{t} \right) \le \frac13 \right\},}\) itd.

Jeśli \(\displaystyle{ T_0}\) jest nieprzeliczalny, to któryś ze zbiorów, na które go podzieliliśmy, jest nieskończony.

[Adifek]

A dowód wygląda sobie tak:

Rozwalamy sobie zbiorek \(\displaystyle{ Z}\) na rozłączne podzbiory:
\(\displaystyle{ Z_{n}=\left\{ z: f(z)\in ( \frac{1}{n+1}, \frac{1}{n}] \right\}, \ Z_{0}=\left\{ z:f(z)\in (0, \infty)\right\}}\).

Istnieje taki indeks \(\displaystyle{ n_{0}}\), że \(\displaystyle{ Z_{n_{0}}}\) jest nieskończony. Niech \(\displaystyle{ S \subset Z_{n_{0}}}\) przeliczalny. Wtedy dla każdego \(\displaystyle{ s\in S}\) mamy \(\displaystyle{ f(s)> \frac{1}{n_{0}+1}}\).

Otrzymujemy:

\(\displaystyle{ \sum_{s\in S}f(s) > \sum_{s\in S}\frac{1}{n_{0}+1} = \infty}\)

[szw1710]

A więc zarówno Adifek, jak i norwimaj używają identycznego pomysłu. To bardzo proste rozwiązanie. Poprawne

[lavena]

Dzięki za pomoc, wszystko jasne!
Adifek, w definicji \(\displaystyle{ Z _{0}}\) zamiast 0 jest 1 prawda?

[Adifek]

No tak, faktycznie. (chyba da się obronić to co napisałem, ale nie chce mi się myśleć )

[szw1710]

Adifek, porównaj sobie z pomysłem norwimaja.

[Spektralny]

Proszę o wskazówkę do następującego zadania:
Niech \(\displaystyle{ \left( X, \Sigma, \mu \right)}\) będzie przestrzenią miary skończonej i niech \(\displaystyle{ \left\{ A _{t} \right\} _{t \in T}}\) będzie rodziną zbiorów mierzalnych parami rozłącznych. Wykazać, że zbiór
\(\displaystyle{ T _{0}:=\left\{ t \in T: \mu\left( A _{t} \right)>0 \right\}}\)
jest co najwyżej przeliczalny.

Jako ciekowstkę dodam, że istnieją Borelowskie miary probabilistyczne, które nie są deltami Diraca dla których zbiór \(\displaystyle{ T_{0}}\) jest zawsze jednoelementowy.