Udowodnianie indukcyjne

[Natalka05]

udowodnij indukcyjnie, że dla dowolnej liczby naturalnej \(\displaystyle{ n}\) zachodzi \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} k(k+1)= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)

[Przemo10]

Dla \(\displaystyle{ n=1}\) jest ok.
\(\displaystyle{ Z:\
\sum_{k=1}^{n} k\left( k+1\right) =\frac{n(n+1)(n+2)}{3}}\)

\(\displaystyle{ T: \
\sum_{k=1}^{n+1} k\left( k+1\right)= \frac{\left( n+1\right) (n+2)(n+3)}{3}}\)


\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n+1} k\left( k+1\right)=\sum_{k=1}^{n} k\left( k+1\right)+\left( n+1\right)\left( n+2\right)= \frac{n(n+1)(n+2)}{3}+ \left( n+1\right)\left( n+2\right)=\frac{\left( n+1\right) (n+2)(n+3)}{3} cnd.}\)

[poranekk]

Próbuje się tego nauczyć i nie do końca rozumiem jak się przeprowadza dowody. Bierzemy lewą stronę tezy i staramy się doprowadzić do tego, by otrzymać to co mamy z prawej strony tezy. Okej. Wzięliśmy lewą stronę, ale nie czaje co dzieje się dalej, chodzi o te przekształcenia. Proszę o jakieś wytłumaczenie : )

[miodzio1988]

Którego przejście nie rozumiesz?

[poranekk]

Na dobrą sprawę całego dowodu nie rozumiem.

[miodzio1988]

Jak działa indukcja nam opisz słownie. Ma trzy kroki. Jakie?

[poranekk]

Mając jakąś tezę, przypuśćmy \(\displaystyle{ T(n)}\) , jest ona prawdziwa dla \(\displaystyle{ n=1}\). Następnie z założenia prawdziwości tej tezy dla dowolnego \(\displaystyle{ n \in N}\), wynika prawdziwość tezy dla \(\displaystyle{ n+1}\).

1. Bierzemy założenie, sprawdzamy dla jedynki, jeśli L=P, zachodzi.
2. Mając założenie \(\displaystyle{ T(n)}\), które wcześniej sprawdziliśmy, należy zbudować tezę \(\displaystyle{ T(n+1)}\).
3. Wykonujemy dowód, by potwierdzić słuszność tezy.

[miodzio1988]

No ok. No to wiesz jak szkielet całego dowodu wygląda. To w którym momencie się gubisz?

[poranekk]

Podam przykład, sam zobaczysz:

\(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n} i ^{2} = \frac{n\left(n+1 \right)\left( 2n+1\right) }{6}}\)

1. Zachodzi

2. \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}i ^{2} = \frac{\left( n+1\right) \left(n+2 \right)\left( 2n+3\right) }{6}}\)

3. \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n+1}i ^{2} = \sum_{i=1}^{n} \frac{n\left( n+1\right)\left( 2n+1\right) }{6} +}\) .. i dalej się wieszam.

[miodzio1988]

Czekaj. Od jakiej sumy w ogóle wychodzimy? tak zaczniemy

[poranekk]

Dobra, poprzedni przykład zrobiłem. Teraz proszę tylko o sprawdzenie kolejnego, bo coś mi nie gra : )

Udowodnij za pomocą indukcji: \(\displaystyle{ \sum_{i=1}^{n}\left( 6i-2\right) = n\left( 3n+1\right)}\)
Moje wyniki:

1. Zachodzi.

2. Założenie: \(\displaystyle{ T\left( n\right) = 4+10+...+6n-2+6n-1=n\left( 3n+1\right)}\)

Teza: \(\displaystyle{ T\left( n+1\right) = 4+10+...+6n-2+6n-1=\left( n+1\right)\left( 3n+4\right)}\)

3. Dowód:
\(\displaystyle{ L=4+10+...+6n-2+6n-1=n\left( 3n+1\right)+6n-1=3n^{2}+7n-1}\)
\(\displaystyle{ P=3n ^{2} +7n+4}\)

Czy rozwiązałem poprawnie?

[miodzio1988]

Założenie już źle zapisałeś. Ten ostatni składnik sumy

[poranekk]

Poprawiłem. Czy teraz jest okej?

2. Założenie: \(\displaystyle{ T\left( n\right) = 4+10+...+6n-2=n\left( 3n+1\right)}\)

Teza: \(\displaystyle{ T\left( n+1\right) = 4+10+...+6n-2+\left( 6\left( n+1\right) -2\right) =\left( n+1\right)\left( 3n+4\right)}\)

3. Dowód:
\(\displaystyle{ L=4+10+...+6n-2+6n+4=n\left( 3n+1\right)+6n+4=3n^{2}+7n+4}\)
\(\displaystyle{ P=3n ^{2} +7n+4}\)
\(\displaystyle{ P=L}\)

Na mocy zasady indukcji \(\displaystyle{ T(n)}\) jest prawdziwe dla \(\displaystyle{ n \in N}\).

[miodzio1988]

teraz ok