Składanie prędkości - chłopiec płynący rzeką

[314wojti314]

Mam do rozwiązania zadanie: Chłopiec płynął rzeką z miejsca A do miejsca B 40 minut, a z miejsca B do A 2 godziny. W obie strony płynął z taką samą prędkością względem wody. Oblicz prędkość, z jaką płynął Łukasz i prędkość prądu rzeki.
Ułożyłem tylko jedno równanie:

\(\displaystyle{ (v_{1} + v_{2}) t_{1} = (v_{1} - v_{2}) t_{2}}\)

gdzie \(\displaystyle{ t_{1}}\) i \(\displaystyle{ t_{2}}\) to odpowiednio czas płynięcia z miejsca A do B i miejsca B do A, zaś \(\displaystyle{ v_{1}}\) i \(\displaystyle{ v_{2}}\) to odpowiednio prędkość nurtu rzeki i prędkość chłopca. Jak powinno wyglądać drugie równanie?

[piasek101]

Z tych danych to możesz wyznaczyć zależność między tymi prędkościami, a ich wartości nie.

[Jakub Gurak]

Myślę, że istotna jest odległość z miejsca A do miejsca B i należy traktować ją jak daną, oznaczę ją przez s.
Teraz
\(\displaystyle{ s=\left( v _{1}+v _{2}\right) \cdot t _{1}}\)
Z ułożonego przez Ciebie równania nie widać, że prędkość chłopca względem wody jest stała, choć zadanie prowadzi właśnie do takich równań, dla obserwatorów płynął raz z prędkością \(\displaystyle{ \left( v _{1}+v _{2}\right)}\) ,a raz z prędkością \(\displaystyle{ \left( v _{1}-v _{2}\right)}\).

[314wojti314]

Tak właśnie myślałem, że to zadanie jest źle skonstruowane. Dziękuję za okazaną pomoc.

[Fibik]

Chyba można.
Dwie niewiadome: v i u - prędkość łodzi i wody w rzece.
Układamy dwa równania, dla tych dwóch znanych czasów, i rozwiązujemy.

-- 6 września 2012, 03:33 --

To jednak nie wyjdzie.

Zwykle w kontekście STW oblicza się różnicę prędkości, albo czasów przepłynięcia, w dwóch różnych kierunkach, np. w poprzek rzeki i wzdłuż, tam i z powrotem i ten sam dystans.

I w związku z tym zastanawiam się, czy te tradycyjne obliczenia nie są przypadkiem błędne.
Tu wychodzi większa prędkość średnia, gdy płyniemy w poprzek, ale to jest obliczane wprost ze składania prędkości z twierdzenia Pitagorasa: \(\displaystyle{ v'^2 = v^2 - u^2}\)

czyli zakładamy, że płyniemy po tej wodzie z prędkością nominalną v i skosem, wtedy nurt wody urywa składową wzdłuż rzeki i płyniemy prostopadle do drugiego brzegu.

Ale to jest raczej nieprawidłowe rozumowanie, ponieważ wiosło, czy dowolny element napędowy, pracuje tu pod pewnym kątem do kierunku ruchu, czyli zgodnie z wzorem na pracę uzyskamy mniejszy efekt:
\(\displaystyle{ W = E_k = F\cdot s \cos(F,s)}\)

Można sobie obliczyć ten cosinus, no i tu otrzymamy dokładnie taki sam wynik jak dla ruchu wzdłuż rzeki, no i w każdym innym kierunku - zawsze wyjdzie to samo.

Zatem nie będzie różnicy prędkości (średnich) nawet w tej wersji rzecznej - zgodnie z pomiarami Miechlosona.

Nigdy nie zrobiono takiego eksperymentu na rzece?
Bardzo dziwne.