stan nieustalony w obwodzie, metoda operatorowa

[Motywator]

Mam kłopot z rozwiązaniem tego zadania, próbowałem je rozwiązać niestety bezskutecznie, czy mógłby ktoś z was wyjaśnić mi jak należy poprawnie je rozwiązać, bardzo by mi to pomogło

Zad 9.1

Określić przebiegi \(\displaystyle{ u_C(t)}\) oraz \(\displaystyle{ i_L(t)}\) w stanie nieustalonym po przełączeniu w obwodzie przedstawionym na rysunku.
Dane: \(\displaystyle{ e(t)=20}\), \(\displaystyle{ R=10 \omega}\), \(\displaystyle{ L=1H}\), \(\displaystyle{ C=1F}\)



Uploaded with

Rozwiązanie:

\(\displaystyle{ i_L(t)=-1.25e^{- \frac{1}{3}t}+1.25e^{-3t)}\)
\(\displaystyle{ u_C(t)= \frac{20}{3}+3.75e^{- \frac{1}{3}t} -0.42e^{-3t)}\)

[alek160]

To zadanie można rozwiązać przy pomocy równań Kirchhoffa oczywiście przy zastosowaniu transformat Laplace'a.
Jest jednak dużo pracy.
Jeśli chcesz ze mną współpracować to zapewniam, że wspólnie osiągniemy cel.
Krok 1.
Proszę wyznaczyć warunki początkowe obwodu, czyli stan ustalony (napięcia, prądy) przed zamknięciem klucza w chwili \(\displaystyle{ \left\{ t=0 ^{-} \right\}}\)
Ponieważ na schemacie ideowym nie oznaczyłeś rezystorów i prądów, proponuję następujące oznaczenia.
R1 - rezystor połączony ze źródłem zsilania
R2 - rezystor równoległy do gałęzi LC
R3 - rezystor włączany kluczem
Uco - napięcie początkowe kondensatora C przed zamknięciem klucza
Niżej są podane oznaczenia zmiennych w obwodzie po zamknięciu klucza
I1(s) - prąd operatorowy w rezystorze R1
I2(s) - prąd operatorowy w rezystorze R2
I3(s) - prąd operatorowy w rezystorze R3
Ic(s) - prąd operatorowy w kondensatorze C
Uc(s) - napięcie operatorowe na kondensatorze C

Pozdrawiam.

[Motywator]

\(\displaystyle{ E= \frac{20}{ \sqrt{2} }}\)

\(\displaystyle{ \omega = 1 \frac{rad}{s}}\)

\(\displaystyle{ Z_L=j\omega L=j}\)

\(\displaystyle{ Z_C= \frac{1}{j\omega C}=-j}\)

\(\displaystyle{ Z=R_1+ \frac{1}{ \frac{1}{Z_C+Z_L} + \frac{1}{R_2} }=R_1+ \frac{1}{\frac{1}{0}+ \frac{1}{10} }=R_1+ \frac{1}{ \infty }=R_1+0=10\Omega}\)

\(\displaystyle{ I_1=I_2= \frac{E}{Z}= \frac{ \frac{20}{ \sqrt{2} } }{10} = \frac{20}{ \sqrt{2} }}\)

\(\displaystyle{ I_C=I_L= \frac{E}{Z_C+Z_L}= \frac{ \frac{20}{ \sqrt{2} } }{j-j}=\frac{ \frac{20}{ \sqrt{2} } }{0}}\)

Tu pojawia się problem, nie wiem co robię źle, impedancje Z_C i Z_L znoszą się i wychodzi bzdura

[alek160]

Zapamiętaj sobie, liczby zespolone mają zastosowanie do przebiegów sinusoidalnych, a w zadaniu jest podany obwód prądu stałego !!!!!
\(\displaystyle{ e\left( t\right) = 20 V}\), const
\(\displaystyle{ R _{1}=10 \Omega}\)
\(\displaystyle{ R _{2}=10 \Omega}\)
\(\displaystyle{ C}\) - kondensator połączony równolegle do \(\displaystyle{ R _{2}}\), można traktować jako przerwę.
\(\displaystyle{ L}\) - Indukcyjność w obwodzie prądu stałego przyjmujemy jako zwarcie.

Masz policzyć warunki początkowe w stanie ustalonym dla chwili \(\displaystyle{ t=0 ^{-}}\), tzn dla chwili przed zamknięciem klucza.

\(\displaystyle{ I _{0} = I _{R1} = I _{R2} = ?}\), prąd w obwodzie w stanie ustalonym.

\(\displaystyle{ U _{C0} = U _{R2} = ?}\), napięcie na pojemności C w stanie ustalonym.

Pozdrawiam.

[Motywator]

Przepraszam, że przez 2 tygodnie tu nie zaglądałem, mam nadzieje, że twoja pomoc jest nadal aktualna.

\(\displaystyle{ I _{0} = I _{R1} = I _{R2} = \frac{E}{R_1}=2A}\)
\(\displaystyle{ U _{C0} = U _{R2} = E=20V}\)

\(\displaystyle{ i_L(0^-)=i_L(0^+)=0A}\) skoro w gałęzi z cewką indukcyjną występuje przerwa (kondensator)
\(\displaystyle{ u_C(0^-)=u_C(0^+)=E=20V}\)

Pozdrawiam

[alek160]

Warunki początkowe powinny być obliczone:
\(\displaystyle{ I _{0} = I _{R1} = I _{R2} = \frac{E}{R _{1}+R _{2} } = 1A}\)
\(\displaystyle{ I _{L}\left( 0 ^{-} \right) = I _{C}\left( 0 ^{-} \right) = 0}\)
\(\displaystyle{ U _{C}\left( 0 ^{-} \right) = I _{0} R _{2} = 10V}\)
W stanie ustalonym \(\displaystyle{ \left( t=0 ^{-} \right)}\) kondensator (C) jest równolegle podłączony do rezystora \(\displaystyle{ R _{2}}\).

Teraz obliczamy stan nieustalony, który wystąpi po zamknięciu klucza (K).
W układzie występują cztery zmienne prądy - patrz oznaczenie zmiennych pod datą (31.07.2012r). Występują tam również warunki początkowe, które należy uwzględnić.

Metoda Kirchhoffa - cztery zmienne - układ czterech równań.
W równaniach przyjmujemy (dla własnej wygody) prąd \(\displaystyle{ I _{C}\left( s\right)}\) zamiast \(\displaystyle{ I _{L}\left( s\right)}\) bowiem przy szeregowym połączeniu elementów (L) oraz (C) zachodzi relacja \(\displaystyle{ I _{C}\left( s\right) = I _{L}\left( s\right)}\)
Strzałkowanie prądów narzuca źródło napięcia (E) - prąd ze źródła wypływa.
Strzałkowanie spadków napięć na elementach biernych (R,L,C) przyjmujemy, tak że są one (spadki napięć) przeciwnie skierowane względem prądu.
Pierwsze równanie operatorowe napiszę dla Ciebie. Pozostałe trzy równania operatorowe napisz samodzielnie.

1. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( E,R _{1},R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{1}(s), I _{3}(s)}\)
\(\displaystyle{ I _{1}(s) R _{1} + I _{3}(s) R _{3} = \frac{E}{s} - \frac{I _{0}R _{1} }{s}}\)

2. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( L,C,R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{C}(s), I _{3}(s)}\)

3. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( R _{2},R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{2}(s), I _{3}(s)}\)

4. Równanie bilansu prądów operatorowych wg I prawa Kirchhoffa - prądy \(\displaystyle{ I _{1}(s), I _{2}(s), I _{3}(s), I _{C}(s)}\)

Teraz Twój ruch.
Pozdrawiam.

[Motywator]

1. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( E,R _{1},R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{1}(s), I _{3}(s)}\)

\(\displaystyle{ I _{1}(s) R _{1} + I _{3}(s) R _{3} = \frac{E}{s} - \frac{I _{0}R _{1} }{s}}\)

2. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( L,C,R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{C}(s), I _{3}(s)}\)

\(\displaystyle{ I_C(s)Z_C+I_C(s)Z_L+ I _{3}(s) R _{3}+\frac{I _{0}R _{1} }{s}=0}\)

3. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( R _{2},R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{2}(s), I _{3}(s)}\)

\(\displaystyle{ I _{2}(s) R _{2}+ I _{3}(s) R _{3}=0}\)

4. Równanie bilansu prądów operatorowych wg I prawa Kirchhoffa - prądy \(\displaystyle{ I _{1}(s), I _{2}(s), I _{3}(s), I _{C}(s)}\)

\(\displaystyle{ I_1(s)=I_2(s)+ I _{3}(s)+ I _{C}(s)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}I _{1}(s) R _{1} + I _{3}(s) R _{3} = \frac{E}{s} - \frac{I _{0}R _{1} }{s} \\ I_C(s)Z_C+I_C(s)Z_L+ I _{3}(s) R _{3}+\frac{I _{0}R _{1} }{s}=0 \\ I _{2}(s) R _{2}+ I _{3}(s) R _{3}=0 \\ I_1(s)=I_2(s)+ I _{3}(s)+ I _{C}(s) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} I_1(s)+I_3(s)= \frac{1}{s} \\ \frac{I_C(s)}{s}+sI_C(s)+10I_3(s)+\frac{10 }{s}=0 \\ 10I_2(s)+10I_3(s)=0 \\I_1(s)=I_2(s)+ I _{3}(s)+ I _{C}(s) \end{cases}}\)

Czy \(\displaystyle{ \frac{I _{0}R _{1} }{s}}\) w równaniu pierwszym, to inaczej \(\displaystyle{ \frac{u_C(0^+)}{s}}\) ?

Z równania 3. wyliczam:

\(\displaystyle{ I_3(s)=-I_2(s)}\) , wstawiam to do równania 4. i otrzymuje:

\(\displaystyle{ I_1(s)=I_2(s)-I_2(s)+I_C(s)}\)

\(\displaystyle{ I_1(s)=I_C(s)}\), wstawiam to następnie do równania 2.:

\(\displaystyle{ \frac{I_1(s)}{s}+sI_1(s)+10I_3(s)+\frac{10 }{s}=0}\)

\(\displaystyle{ I_1(s)( \frac{1}{s}+s)+ \frac{10}{s} =-10I_3(s)}\)

\(\displaystyle{ I_3(s)= \frac{-I_1(s)( \frac{1}{s}+s)}{10}- \frac{1}{s}}\)

wstawiając do równania 1. ostatecznie otrzymuje:

\(\displaystyle{ I_1(s)-\frac{I_1(s)( \frac{1}{s}+s)}{10}-\frac{1}{s}= \frac{1}{s}}\)

\(\displaystyle{ I_1(s)(1- \frac{ \frac{1}{s}+s }{10}) = \frac{2}{s}}\)

\(\displaystyle{ I_C(s)=I_1(s)= \frac{ \frac{2}{s} }{ \frac{10- \frac{1}{s}+s }{10} }= \frac{20}{s^2+10s-1}}\)

Gdy wyliczam transformatę odwrotną wychodzi wynik znacznie różniący się od tego z odpowiedzi, co zrobiłem nie tak?

[alek160]

1. W równaniu (1) składowa \(\displaystyle{ \frac{I _{0}R _{1} }{s}}\) jest warunkiem początkowym napięcia na rezystorze \(\displaystyle{ R _{1}}\). Przecież w chwili \(\displaystyle{ \left( t=0 \right)}\) w rezystorze \(\displaystyle{ R _{1}}\) płynie prąd \(\displaystyle{ I _{0}=1A}\) i wywołuje spadek napięcia \(\displaystyle{ U _{R1.0}=10V}\). W oczku \(\displaystyle{ (E,R _{1},R _{3})}\) nie występuje napięcie początkowe \(\displaystyle{ U _{C0}=10V}\)
Zatem po prawej stronie równania (1) po podstawieniu wartości liczbowych powinno wyjść, jak następuje.
\(\displaystyle{ \frac{E}{s}- \frac{I _{0}R _{1}}{s} = \frac{10}{s}}\)

2. W równaniu (2), jeśli oznaczyłeś kierunki prądów tak jak zaleciłem, powinno wyjść jak następuje.

\(\displaystyle{ I_C(s)\left( sL + \frac{1}{sC} \right) - I _{3}(s) R _{3} + \frac{U _{C0} }{s} = 0}\)

\(\displaystyle{ U _{C0} = 10V}\)

3. W równaniu (3), jeśli oznaczyłeś kierunki prądów tak jak zaleciłem, powinno wyjść jak następuje.

\(\displaystyle{ I _{2}(s) R _{2} - I _{3}(s) R _{3} + \frac{I _{0}R _{2} }{s} = 0}\)

\(\displaystyle{ \left( I _{0}R _{2} \right) = 10V}\) - warunek początkowy napięcia na rezystorze \(\displaystyle{ R _{2}}\). Przecież w chwili \(\displaystyle{ \left( t=0\right)}\) przez rezystor \(\displaystyle{ R _{2}}\) płynie prąd początkowy \(\displaystyle{ I _{0}=1A}\) i wywołuje początkowy spadek napięcia \(\displaystyle{ U _{R2.0}=10V}\)

4. Równanie (4) jest OK!

Proszę poprawić obliczenia.
Pozdrawiam.

[Motywator]

1. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( E,R _{1},R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{1}(s), I _{3}(s)}\)

\(\displaystyle{ I _{1}(s) R _{1} + I _{3}(s) R _{3} = \frac{E}{s} - \frac{I _{0}R _{1} }{s}}\)

2. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( L,C,R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{C}(s), I _{3}(s)}\)

\(\displaystyle{ I_C(s)Z_C+I_C(s)Z_L- I _{3}(s) R _{3}+\frac{U_{C0} }{s}=0}\)
\(\displaystyle{ U_{C0}=10V}\)

3. Równanie wg II prawa Kirchhoffa dla oczka: \(\displaystyle{ \left( R _{2},R _{3} \right)}\) - prądy operatorowe \(\displaystyle{ I _{2}(s), I _{3}(s)}\)

\(\displaystyle{ I _{2}(s) R _{2}- I _{3}(s) R _{3} + \frac{I_0R_2}{s} =0}\)

4. Równanie bilansu prądów operatorowych wg I prawa Kirchhoffa - prądy \(\displaystyle{ I _{1}(s), I _{2}(s), I _{3}(s), I _{C}(s)}\)

\(\displaystyle{ I_1(s)=I_2(s)+ I _{3}(s)+ I _{C}(s)}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases}I _{1}(s) R _{1} + I _{3}(s) R _{3} = \frac{E}{s} - \frac{I _{0}R _{1} }{s} \\ I_C(s) \frac{1}{sC} +I_C(s)sL- I _{3}(s) R _{3}+\frac{U_{C0} }{s}=0 \\ I _{2}(s) R _{2}- I _{3}(s) R _{3}+ \frac{I_0R_2}{s} =0 \\ I_1(s)=I_2(s)+ I _{3}(s)+ I _{C}(s) \end{cases}}\)

\(\displaystyle{ \begin{cases} 10I_1(s)+10I_3(s)= \frac{20}{s}- \frac{10}{s} \\ \frac{I_C(s)}{s}+sI_C(s)-10I_3(s)+\frac{10 }{s}=0 \\ 10I_2(s)-10I_3(s)+ \frac{10}{s} =0 \\I_1(s)=I_2(s)+ I _{3}(s)+ I _{C}(s) \end{cases}}\)

Obliczenia dodam później, czy tym razem układ równań jest prawidłowy?

[alek160]

Równania są właściwe.
Zgodnie z zadaniem, należy obliczyć:
\(\displaystyle{ I _{C}\left( s\right) \longrightarrow i_{c}\left( t\right)}\)
\(\displaystyle{ U _{C}\left( s\right) \longrightarrow u_{c}\left( t\right)}\)

Podpowiem Ci obliczenie \(\displaystyle{ U _{C}\left( s\right)}\)

\(\displaystyle{ U _{C}\left( s\right) = I _{C}\left( s\right) \frac{1}{sC} + \frac{U _{C0} }{s}}\)

Pozdrawiam.

[Kosynier]

Próbowałem rozwiązać to zadanie ale przy rozwiązywaniu układu równań wyszło mi coś dziwnego w \(\displaystyle{ I_1}\).

Po podstawieniu wartości wyliczyłem po kolei tak:
\(\displaystyle{ I_3(s) = \frac{1}{s} - I_1(s)}\)

\(\displaystyle{ I_2(s) = -I_1(s)}\)

\(\displaystyle{ I_C(s) = \frac{s \cdot 10 I_1 (s)}{s^2 + 1}}\)

\(\displaystyle{ I_1(s) = \frac{s^2 +1}{s^3 \cdot 3 + s \cdot 3 - s^2 \cdot 10}}\)

Czy te wyliczenia są poprawne? Pytam bo podstawienie tego \(\displaystyle{ I_1}\) pod pozostałe równania nie wydaje się zbyt wygodne.