Obszar całkowania

[mydew]

Witam! Mam problem z tym, żeby z nierówności podanych do obszaru całkowania policzyć z tego całki. Podam dwa przykłady i prosiłbym o pomoc.

przykład 1
\(\displaystyle{ D= {(x,y,z)\in R^3 : x+2 \le y \le z \le 2x \le 6}}\)

Tutaj bym zrobił tak, że \(\displaystyle{ x+2 \le 2x}\) oraz \(\displaystyle{ 2x \le 6}\). Zatem \(\displaystyle{ x \in \left\langle 1,3\right\rangle}\).
Potem, że \(\displaystyle{ y \in \left\langle x+2, z \right\rangle}\). Czy \(\displaystyle{ z \in \left\langle x+2, y\right\rangle}\), a może \(\displaystyle{ z \in \left\langle x+2, 6\right\rangle}\)

przykład 2
\(\displaystyle{ D= {(x,y)\in R^2 : x^4 + y^4 \le 1 \le x+y }}\)
Jak zabrać się do tego przykładu ? Zamiana zmiennych, czy rozpisanie tego jakoś mi nie wychodzi :/

[Lorek]

Jak ustalasz zakres zmienności jakiejś zmiennej, to ta zmienna może zależeć tylko od tych zmiennych, których zakres już ustaliłeś. Tak że jak najpierw ustaliłeś \(\displaystyle{ x\in[1,3]}\) to ustalając \(\displaystyle{ y}\) możesz korzystać tylko z ograniczeń x-owych, czyli \(\displaystyle{ y\in[x+2,2x]}\). I teraz \(\displaystyle{ z}\) może już zależeć od \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\): \(\displaystyle{ z\in[y,2x]}\)
Oczywiście możesz też najpierw ustalić \(\displaystyle{ z}\) a potem \(\displaystyle{ y}\).

W 2. możesz ewentualnie obrócić układ o \(\displaystyle{ \frac{\pi}{4}}\), a tak poza tym to chyba niewiele da się zrobić

[mydew]

Jeszcze chciałbym się upewnić, czy dla:
\(\displaystyle{ x \le z \le y \le 3 \le x+2}\)
Będziemy mieć:
\(\displaystyle{ x \in \left\langle 1, 3\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ y \in \left\langle x, x+2\right\rangle}\)
\(\displaystyle{ z \in \left\langle y, 3\right\rangle}\) ?

[Lorek]

\(\displaystyle{ x}\) ok, a teraz, żeby wyznaczyć granice \(\displaystyle{ y}\) przepisujesz tę nierówność z uwzględnieniem \(\displaystyle{ y}\) i tych, zmiennych, które już masz ustalone, czyli \(\displaystyle{ x}\):
\(\displaystyle{ x\le y\le 3\le x+2}\)
i patrzysz na to, co stoi tuż obok \(\displaystyle{ y}\) otrzymując \(\displaystyle{ x\le y\le 3\Rightarrow y\in[x,3]}\)
teraz już możesz w nierówności uwzględnić \(\displaystyle{ z}\):
\(\displaystyle{ x \le z \le y \le 3 \le x+2}\), obok \(\displaystyle{ z}\) mamy \(\displaystyle{ x\le z\le y\Rightarrow z\in[x,y]}\)