równanie różniczkowe zupełne

[franek89]

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0}\)

\(\displaystyle{ \frac{-x^{2}+y}{x^{2}y^{2}}=\frac{2x-3}{3xy}\cdot f(x)-\frac{3x^{2}+2y}{3xy} \cdot g(y)}\)

tylko tak:
\(\displaystyle{ f(x)=\frac{A}{x}}\)
\(\displaystyle{ g(y)=\frac{B}{y}}\)

\(\displaystyle{ \frac{-3x^{2}+3y}{3xy}=\frac{2Axy-3Ay}{3xy}-\frac{3x^{3}B+2Bxy}{3xy}}\)
i jak wyznaczyć tu współczynniki A B ?????
co ja zrobiłem źle...

[miodzio1988]

wytłumacz się z pierwszego przejścia

[franek89]

Sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika i pomnożyłem przez xy.
Jak to rozwiązać?

[miodzio1988]

No to skąd Ci się wziely funkcje \(\displaystyle{ f,g}\) ?

[franek89]

Nie było czynnika całkującego zależnego od zmiennej x czy też zmiennej y. A te funkcje Krysicki podaje jako przykład. Czy ktoś może mi konkretnie powiedzieć, gdzie tkwi bład ?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0\\
\frac{3x^2+2y}{3xy}+\left( \frac{2x-3}{3xy} \right)y^{\prime}=0\\
\left( 3x^2+2y\right)+\left( 2x-3\right)y^{\prime}=0\\}\)

Teraz powinno być już zupełne
Gdyby nie było narzuconej metody to można by było rozwiązywać je jako liniowe

Dalej powinieneś pogrupować składniki i rozwiązać układ na współczynniki


\(\displaystyle{ \frac{ \partial \mu\left( x,y\right)P\left( x,y\right) }{ \partial y}-\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)Q\left( x,y\right) }{ \partial x}=0\\
\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)}{ \partial y}P\left( x,y\right)+\mu\left( x,y\right) \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial \mu\left( x,y\right) }{ \partial x} Q\left( x,y\right)-\mu\left( x,y\right) \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x}=0\\
\mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)+\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)}{ \partial y}P\left( x,y\right)- \frac{ \partial \mu\left( x,y\right) }{ \partial x} Q\left( x,y\right)\\
\mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)= \frac{ \partial \mu\left( x,y\right) }{ \partial x} Q\left( x,y\right)-\frac{ \partial \mu\left( x,y\right)}{ \partial y}P\left( x,y\right)\\}\)

Przyjmujemy że

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right) =\varphi\left( x\right)\psi\left( y\right)\\
\frac{ \mbox{d}\varphi }{ \mbox{d}x}=\varphi\left( x\right) f\left( x\right) \\
\frac{ \mbox{d} \psi }{ \mbox{d}y}=\psi\left( y\right) g\left( y\right)}\)

i otrzymujemy

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=\mu\left( x,y\right)Q\left( x,y\right)f\left( x\right) -\mu\left( x,y\right)P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\
\frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} =Q\left( x,y\right)f\left( x\right)-P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\}\)

[franek89]

Korzystałem z tego wzoru,sprowadziłem wszystko do wspólnego mianownika i wyszło mi :
\(\displaystyle{ \frac{-3x^{2}+3y}{3xy}=\frac{2Axy-3Ay}{3xy}-\frac{3x^{3}B+2Bxy}{3xy}}\)

tutaj się zgubiłem, bo nie ma co przyrównywać współczynniki... co jest nie tak? Równanie zupełne rozwiążę, ale problem mam ze znalezieniem wspomnianych funkcji...

[invx]

Twoje równanie zostało na początku uproszczone do:
\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0\\ \frac{3x^2+2y}{3xy}+\left( \frac{2x-3}{3xy} \right)y^{\prime}=0\\ \left( 3x^2+2y\right)+\left( 2x-3\right)y^{\prime}=0\\}\)

Szukaj teraz czynnika całkującego.

[franek89]

\(\displaystyle{ \mu\left( x,y\right)\left( \frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} \right)=\mu\left( x,y\right)Q\left( x,y\right)f\left( x\right) -\mu\left( x,y\right)P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\
\frac{ \partial P\left( x,y\right) }{ \partial y}- \frac{ \partial Q\left( x,y\right) }{ \partial x} =Q\left( x,y\right)f\left( x\right)-P\left( x,y\right)g\left( y\right) \\}\)

korzystałem z tego i wyszły mi powyżej zamieszczone bzdury...
dlaczego?

[Mariusz M]

Źle policzyłeś różnicę tych pochodnych cząstkowych
Pochodne cząstkowe nieco wygodniej będzie liczyć nie sprowadzając funkcji do wspólnego
mianownika

Jak dobrze policzysz różnicę pochodnych to pogrupuj składniki i rozwiąż układ na współczynniki

Załóż że

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{A}{x}\\
g\left( y\right)= \frac{B}{y}}\)

[franek89]

\(\displaystyle{ \frac{ \partial P}{\partial y}=\frac{-x}{y^{2}}}\)
\(\displaystyle{ \frac{ \partial Q}{\partial x}=\frac{y}{x^{2}y^{2}}}\)
i teraz
\(\displaystyle{ \frac{-x^{3}+y}{y^{2}x^{2}}=(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{A}{x}-(\frac{x}{y}+\frac{2}{3x})\frac{B}{y}}\)
i żeby wyznaczyć te współczynniki sprowadzam wszystko do wspólnego mianownika
\(\displaystyle{ \frac{-3x^{3}+3y}{3y^{2}x^{2}}=\frac{2Ayx}{3y^{2}x^{2}}-\frac{3Ay}{3x^{2}y^{2}}-\frac{3Bx^{3}}{3x^{2}y^{2}}-\frac{2Bxy}{3x^{2}y^{2}}}\)
i co z tym zrobić???
w odp. \(\displaystyle{ f(x)=3x}\)
\(\displaystyle{ g(y)=y}\)
a mi wychodzą kompletne bzdury... dlaczego?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ \frac{x}{y}+\frac{2}{3x}+(\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy})\frac{dy}{dx}=0\\
P=\frac{x}{y}+\frac{2}{3x}= \frac{3x^2+2y}{3xy}\\
Q=\frac{2}{3y}-\frac{1}{xy}=\frac{2x-3}{3xy}\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}=-\frac{x}{y^2}\\
\frac{ \partial Q}{ \partial x}= \frac{1}{x^2y}\\
\frac{ \partial P}{ \partial y}- \frac{ \partial Q}{ \partial x}= -\frac{x^3+y}{x^2y^2}\\
-3\frac{x^3+y}{3x^2y^2}= \frac{y\left( 2x-3\right) }{3xy^2} \cdot \frac{A}{x}- \frac{x\left( 3x^2+2y\right) }{3x^2y} \cdot \frac{B}{y}}\)

Teraz trzeba pogrupować wyrazy i rozwiązać układ na współczynniki

[franek89]

I właśnie tu mam problem... Nie wiem jak pogrupować te wyrazy...
\(\displaystyle{ 2Axy}\) jak na to patrzeć ?

[Mariusz M]

\(\displaystyle{ -3\frac{x^3+y}{3x^2y^2}= \frac{y\left( 2x-3\right) }{3xy^2} \cdot \frac{A}{x}- \frac{x\left( 3x^2+2y\right) }{3x^2y} \cdot \frac{B}{y}\\
2xy \cdot \left( A-B\right)-3x^3B-3yA=-3x^3-3y\\
\begin{cases} A=1 \\ B=1 \end{cases}}\)

Jest też spełnione równanie

\(\displaystyle{ A-B=0}\)

więc funkcje f i g wyglądają następująco

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \frac{1}{x}\\
g\left( y\right)= \frac{1}{y}\\}\)

[franek89]

Dzięki.