Macierz wrońskiego, funkcje

[invx]

Pytanie o rozwiązywanie równań nie jednorodnych z wykorzystaniem macierzy wrońskiego, a dokładniej o znak w funkcjach zdefiniowanych jako:

\(\displaystyle{ - \int_{}^{} \frac{f(x) \cdot y_{b2} }{W(x)} dx}\)

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{f(x) \cdot y_{b1} }{W(x)} dx}\)

Zawsze dla funkcji z \(\displaystyle{ y_{b2}}\) jest minus - ale jakie są zasady przyjmowania kolejności ? Tutaj widzę jakąś zależność, im "więcej x" tym funkcja jest jako druga.
Co w przypadku np. sin i cos ?

[luka52]

Przydałby się jakiś wstęp do tego pytania imho.

[invx]

Sory, zapomniałem podać linka w I poście:

% ... %3D1%2Fcos^2x

i w rozwiązaniu pojawiają się w/w funkcje - zawsze przy korzystaniu z macierzy Wrońskiego.

[luka52]

Może inaczej - bardzo niechlujnie zredagowałeś pytanie, nie bardzo wiadomo o co chodzi.
Mając dane równanie różniczkowe drugiego rzędu, dla uproszczenia niech to będzie \(\displaystyle{ y'' + a y' + b y = f(x)}\), to znając całki równania jednorodnego, możemy posłużyć się metodą uzmienniania stałych, by zapisać układ równań:

\(\displaystyle{ \begin{pmatrix} y_1 & y_2 \\ y_1' & y_2' \end{pmatrix} \begin{pmatrix} C_1' \\ C_2' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ f(x) \end{pmatrix}}\)

Rozwiązanie to:

\(\displaystyle{ C_1' = \frac{-y_2 \cdot f(x)}{W(x)}, \; C_2' = \frac{y_1 \cdot f(x)}{W(x)}}\)

a dalej całką szczególną równania jest:

\(\displaystyle{ y_s(t) = y_1 \int^t \frac{-y_2 \cdot f(x)}{W(x)} \; \dd x + y_2 \int^t \frac{y_1 \cdot f(x)}{W(x)} \dd x}\)

Czyli to gdzie jest minus, a gdzie go nie ma (przy \(\displaystyle{ y_{1,2}}\) wynika wprost z rozwiązania układu równań na \(\displaystyle{ C_{1,2}'}\).