Witam,
wiemy, że jeżeli mamy przestrzeń topologiczną \(\displaystyle{ X}\) oraz przestrzeń Hausdorffa \(\displaystyle{ Y}\), a funkcja \(\displaystyle{ f:X \rightarrow Y}\) jest ciągła, to wykres funkcji \(\displaystyle{ f}\) jest podzbiorem domkniętym przestrzeni \(\displaystyle{ X \times Y}\).
Czy ktoś mógłby podać przykład, że w drugą stronę tw. to nie zachodzi?
Będę bardzo wdzięczna.
wykres odwzorowania ciągłego
-
szw1710
wykres odwzorowania ciągłego
Ale w jakim sensie? Zostawiamy założenie, że \(\displaystyle{ Y}\) jest Hausdorffa i chciałabyś przykład funkcji nieciągłej z domkniętym wykresem?
Na prostej rzeczywistej bierzemy topologię naturalną w dziedzinie i przeciwdziedzinie. Co powiesz o funkcji \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) określonej wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{x}&\text{dla }x\ne 0\,,\\
0&\text{dla }x=0\,?
\end{cases}}\)
Na prostej rzeczywistej bierzemy topologię naturalną w dziedzinie i przeciwdziedzinie. Co powiesz o funkcji \(\displaystyle{ f:\RR\to\RR}\) określonej wzorem
\(\displaystyle{ f(x)=\begin{cases}
\frac{1}{x}&\text{dla }x\ne 0\,,\\
0&\text{dla }x=0\,?
\end{cases}}\)
-
brzoskwinka1
wykres odwzorowania ciągłego
chyba tylko, gdy jest liniowe?Zordon pisze:Co ciekawe, zachodzi to w obie strony jeśli rozważane odwzorowanie jest pomiędzy przestrzeniami Banacha
-
szw1710
wykres odwzorowania ciągłego
Ciekawi mnie, czy nie poszło by też dla afinicznych (liniowe + stała). W przestrzeni skończenie wymiarowej to trywialne. Ale w nieskończenie wymiarowej już nie. Suma algebraiczna (tzw. suma Minkowskiego) zbiorów domkniętych nie musi być domknięta.
-
brzoskwinka1
wykres odwzorowania ciągłego
Jeżeli funkcja afiniczna \(\displaystyle{ A:X \rightarrow Y,}\) \(\displaystyle{ A(x)=L(x)+y_0}\) (gdzie \(\displaystyle{ L:X \rightarrow Y,}\) jest odwzorowaniem liniowym) ma domknięty wykres \(\displaystyle{ \mbox{Graph} (A) =\{(x,Ax):x\in X\}}\), to wykres \(\displaystyle{ \mbox{Graph} (L) =\mbox{Graph} (A) -\{(0,y_0)\}}\) też jest domknięty jako suma Minkowskiego zbioru domkniętego i zwartego. Zatem \(\displaystyle{ L}\) jest ciągłe, a co za tym idzie ciągłe jest również \(\displaystyle{ A.}\)
-
szw1710
wykres odwzorowania ciągłego
Dzięki - bez karteczki jakoś nie dostrzegłem, że na grafie też wystarczy odjąć singleton W pierwszej wersji posta napisałem za całą pewnością, że to idzie. Ale że było dość późno (czyt. byłem zmęczony), zostawiłem sobie margines bezpieczeństwa
A więc istnieją inne od liniowych odwzorowania, dla których domkniętość wykresu implikuje ciągłość. Afinicznym oczywiście bardzo blisko do liniowych.
Funkcje addytywne także tu pasują. Funkcja addytywna albo jest ciągła, albo ma gęsty wykres. Wykres nie może być domknięty i gęsty, bo musiałby być całą przestrzenią, a tak się nie da. A więc funkcja addytywna z domkniętym wykresem jest ciągła. Jak będzie z innymi klasami funkcji? Weźmy np. funkcję spełniającą równanie funkcjonałów kwadratowych. Niech ma wartości rzeczywiste, a dziedzinę Banachowską. A więc mamy funkcję spełniającą równanie
\(\displaystyle{ Q(x+y)+Q(x-y)=2Q(x)+2Q(y).}\)
Dowodzi się, że wtedy istnieje funkcja dwuaddytywna i symetryczna \(\displaystyle{ f}\) taka, że
\(\displaystyle{ Q(x)=f(x,x).}\)
Nie wchodzę w szczegóły, ale wydaje się, że rzecz idzie także dla funkcji \(\displaystyle{ Q}\) ze względu na tego typu reprezentację. W każdym razie \(\displaystyle{ Q}\) nie musi spełniać takiej alternatywy jak funkcja addytywna (ciągła albo gęsty wykres). Można by iść dalej i badać klasy funkcji, dla których dyskutowana implikacja zachodzi. Do zastanowienia się nad sprawą skłoniły mnie posty Brzoskwinki i Zordona w tym wątku. Padło w nich stwierdzenie typu, że implikacja odwrotna zachodzi tylko wtedy, gdy odwzorowanie jest liniowe, co nie jest do końca prawdą. Wiem, o czym myślicie: zakładając liniowość mamy implikację odwrotną. Stąd pytania, co jeszcze o odwzorowaniu można założyć. A w zasadzie w pytaniu chodzi o klasę odwzorowań, a nie o konkretną funkcję, bo taka albo jest ciągła, albo nie jest ciągła i już.
A więc istnieją inne od liniowych odwzorowania, dla których domkniętość wykresu implikuje ciągłość. Afinicznym oczywiście bardzo blisko do liniowych.
Funkcje addytywne także tu pasują. Funkcja addytywna albo jest ciągła, albo ma gęsty wykres. Wykres nie może być domknięty i gęsty, bo musiałby być całą przestrzenią, a tak się nie da. A więc funkcja addytywna z domkniętym wykresem jest ciągła. Jak będzie z innymi klasami funkcji? Weźmy np. funkcję spełniającą równanie funkcjonałów kwadratowych. Niech ma wartości rzeczywiste, a dziedzinę Banachowską. A więc mamy funkcję spełniającą równanie
\(\displaystyle{ Q(x+y)+Q(x-y)=2Q(x)+2Q(y).}\)
Dowodzi się, że wtedy istnieje funkcja dwuaddytywna i symetryczna \(\displaystyle{ f}\) taka, że
\(\displaystyle{ Q(x)=f(x,x).}\)
Nie wchodzę w szczegóły, ale wydaje się, że rzecz idzie także dla funkcji \(\displaystyle{ Q}\) ze względu na tego typu reprezentację. W każdym razie \(\displaystyle{ Q}\) nie musi spełniać takiej alternatywy jak funkcja addytywna (ciągła albo gęsty wykres). Można by iść dalej i badać klasy funkcji, dla których dyskutowana implikacja zachodzi. Do zastanowienia się nad sprawą skłoniły mnie posty Brzoskwinki i Zordona w tym wątku. Padło w nich stwierdzenie typu, że implikacja odwrotna zachodzi tylko wtedy, gdy odwzorowanie jest liniowe, co nie jest do końca prawdą. Wiem, o czym myślicie: zakładając liniowość mamy implikację odwrotną. Stąd pytania, co jeszcze o odwzorowaniu można założyć. A w zasadzie w pytaniu chodzi o klasę odwzorowań, a nie o konkretną funkcję, bo taka albo jest ciągła, albo nie jest ciągła i już.
-
brzoskwinka1
wykres odwzorowania ciągłego
Niech \(\displaystyle{ \sigma : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}}\) będzie nieciągłą funkcją addytywną. Funkcja \(\displaystyle{ \varphi : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}^2}\) , określona wzorem \(\displaystyle{ \varphi (t) =(\sigma (t) ,\sigma (t) )}\) jest addytywna nieciągła a jej wykres nie jest gęsty w \(\displaystyle{ \mathbb{R}\times \mathbb{R}^2 .}\)szw1710 pisze: Funkcje addytywne także tu pasują. Funkcja addytywna albo jest ciągła, albo ma gęsty wykres.
-
szw1710
wykres odwzorowania ciągłego
Nie precyzowałem realiów Jeśli wartości są rzeczywiste, to jest jak napisałem Gratuluję. Nie ma to jak krytyczne spojrzenie. To także część pracy matematyka.
Już trochę późno, chciałem znaleźć konkretne twierdzenie w książce Kuczmy, ale odpuszczę. Dobrej nocy.
Poranny EDIT Marek Kuczma, An introduction to the theory of functional equations, Theorem 12.1.2. Oczywiście tam zakłada się, że dziedziną jest \(\displaystyle{ \RR^n.}\) Dokładniej:
Twierdzenie Jeśli \(\displaystyle{ a:\RR^n\to\RR}\) jest nieciągłą funkcją addytywną, to zbiór \(\displaystyle{ \text{Gr}\,a=\left\{\bigl(x,a(x)\bigr):x\in\RR^n\right\}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ \RR^{n+1}.}\)
Już trochę późno, chciałem znaleźć konkretne twierdzenie w książce Kuczmy, ale odpuszczę. Dobrej nocy.
Poranny EDIT Marek Kuczma, An introduction to the theory of functional equations, Theorem 12.1.2. Oczywiście tam zakłada się, że dziedziną jest \(\displaystyle{ \RR^n.}\) Dokładniej:
Twierdzenie Jeśli \(\displaystyle{ a:\RR^n\to\RR}\) jest nieciągłą funkcją addytywną, to zbiór \(\displaystyle{ \text{Gr}\,a=\left\{\bigl(x,a(x)\bigr):x\in\RR^n\right\}}\) jest gęsty w \(\displaystyle{ \RR^{n+1}.}\)