Przekształcenia mnożenia na dodawanie

[milons]

Cześć. Temat wydaje się być dziecinnie prosty i wręcz głupi ale niestety musiałem zaspać na tej lekcji
Jak uzyskać przekształcenie:


\(\displaystyle{ 1 + p + q + pq = 56}\)

\(\displaystyle{ (p + 1) (q + 1) = 56}\)

Często pojawia się tego typu problem zarówno na forum w zadaniach jak i w zbiorach przy obliczeniach ale nie potrafię tego zrobić:)
Z góry thanks

[pyzol]

\(\displaystyle{ 1+p+q+pq=(1+p)+q(1+p)=(1+p)(1+q)}\)

[milons]

Eh :/ Jakoś totalnie tych przekształceń nie rozumiem. Nawet nie pamiętam żebym je przerabiał kiedyś w szkole.
Ale od wrześnie zaczynam wielomiany a tam wydaje mi się że to będzie potrzebne.
No nic.
Dzięki wielkie

[wiedzmac]

Witam,
To jest bardzo znany trick, często używany przy rozwiązywaniu równań nieoznaczonych.
Sam kiedyś tego nie rozumiałem, a wszystko się zmieniło, gdy przeczytałem artykuł Michała Kiezy pt. "Sztuczka z iloczynem", który został umieszczony w gazetce Kwadrat Olimpiady Matematycznej Gimnazjalistów. Artykuł podsyłam .
Mam nadzieję, że dzięki temu uda ci się zrozumieć to zagadnienie.

Ogólnie cały trick polega na tym, że jeśli chcemy lewą stronę równania zwinąć w iloczyn dwóch nawiasów, to staramy się doprowadzić go do następującej postaci :

\(\displaystyle{ (x+a)(y+b)=xy+bx+ay+ab}\), gdzie \(\displaystyle{ x,y}\) to nasze niewiadome, a \(\displaystyle{ a,b}\) to jakieś parametry.

Przykładowo jeśli mamy równanie \(\displaystyle{ 1 + p + q + pq = 56}\) z niewiadomymi \(\displaystyle{ p, q}\), to naprawdę wygląda ono tak : \(\displaystyle{ 1 \cdot 1 + 1 \cdot p + 1 \cdot q + pq = 56}\). Widzimy, że w tym przypadku \(\displaystyle{ a = b = 1}\), a zatem mamy postać \(\displaystyle{ (q+1)(p+1) = 56}\).


Pozdrawiam,
Bartosz Bednarczyk