Cztery zadania z treścią

[aniaa93]

Witam mam problem z zadaniami z procentem składanym.
Jeśli ktoś mógłby mi pomóc, to już praktycznie ostatnie zadania.
Zadanie 1.
Marek przez rok zbierał pieniądze. W styczniu odłożył 200zł a każdego następnego miesiąca odkładał o 10zł mniej niż poprzedniego. Ile marek odłożył w grudniu i ile miał pieniędzy po pół roku?
Zadanie 2.
Szef przyznał premię dla 5 pracowników. Każda z osób, od drugiej poczynając, dostała 80% premii poprzedniej osoby. Ile dostał każdy z pracowników jeśli łącznie szef przeznaczył na wszystkie premie 18909zł ?
Zadanie 3.
Liczbę 50 zmniejszono pięciokrotnie, za każdym razem o 20%. Ile otrzymano?
Zadanie 4.
Komputer taniał trzykrotnie o 10% i obecnie kosztuje 1749,60zł. Jaka była początkowa cena komputera?
Zadanie 5.
Pan Nowak wpłacił do banku 30000 zł. Ile będzie miał po:
a) 5 latach, jeśli oprocentowanie wynosi 4% rocznie
b) 6 latach, jeśli przez pierwsze 3 lata oprocentowanie wynosiło 7%, przez 2 następne wynosiło 5% a w ostatnim roku wynosiło 4%
c) 3 latach, jeśli oprocentowanie wynosi 8% a kapitalizacja odsetek następuje co kwartał

[ivanoo]

pokaż jak liczysz i z czym masz problem..

[aniaa93]

zadanie 1
\(\displaystyle{ a_1 = 200 \mbox{zł}}\)
\(\displaystyle{ a_2 = 190 \mbox{zł}}\)
i tak dochodzę do grudnia w którym wychodzi mi:
\(\displaystyle{ a _{12} =90}\)
pierwsza część zadania zrobiona. Moje pytanie: Czy mogę to tak po prostu rozpisywać?
Następnie obliczyć ile pieniędzy będzie miał po 6 miesiącach:
\(\displaystyle{ S_{6}=200 + (6-1) \cdot 10 \Rightarrow S_{6}= 2050zł}\)
a jeśli dodam to tak po prostu czyli \(\displaystyle{ 200+190+180+...}\) wtedy wychodzi mi \(\displaystyle{ 1050 \mbox{zł}}\).
Muszę to zapisać za pomocą wzoru czy nie ?

[ivanoo]

jak dla mnie to możesz to nawet w pamięci liczyć
wytłumacz wzór na tą sumę po 6 miesiącach..

[aniaa93]

a no tak nie ten wzór. z wzoru na sumę:
\(\displaystyle{ S_{6} = \frac{200+150}{2} \cdot 6 = \frac{350}{2} \cdot 6 = \frac{2100}{2} = 700}\)
też nie \(\displaystyle{ 1500}\) jak powinno być

[ivanoo]

wcześniej doszłaś do tego, że ma wyjść \(\displaystyle{ 1050}\) a nie \(\displaystyle{ 1500}\)..
okej, wzory masz, ale powiedz czy rozumiesz co znaczą konkretne liczby w tym wzorze i dlaczego są właśnie w takim miejscu?
poza tym rozwiąż to dzielenie:
\(\displaystyle{ \frac{2100}{2}=?}\)

[aniaa93]

tyle zadań, że powoli nie ogarniam
pomożesz mi z 2 zadaniem?
co mam przypisać dla \(\displaystyle{ a_1}\)? czy \(\displaystyle{ a _{1} =1 , \ a _{2} =0,8}\) będzie dobrze ?

[loitzl9006]

no może być, choć ja wolałbym \(\displaystyle{ a _{1} =x, \ a_2=0.8x}\) itd. \(\displaystyle{ x}\) to premia pierwszego pracownika, \(\displaystyle{ 0.8x}\) - premia drugiego itd. Rozwiązując "moim" sposobem, możesz teraz użyć wzoru na sumę \(\displaystyle{ 5}\) początkowych wyrazów ciągu geom. i z tego wzoru wyliczyć \(\displaystyle{ x}\).

Twoim sposobem też dałoby radę, ale trzeba by kombinować i bawić się proporcjami.

[aniaa93]

Zadanie 2.
\(\displaystyle{ S_{5}=x+0,8x+0,64x+0,512x+0,4096x}\)
\(\displaystyle{ 18909=3,3616x}\)
\(\displaystyle{ x=5625}\)
\(\displaystyle{ a_{1}= 5625}\)
\(\displaystyle{ a _{2}=4500}\)
\(\displaystyle{ a_{3}= 3600}\)
\(\displaystyle{ a_{4}= 2880}\)
\(\displaystyle{ a_{5}= 2304}\)
wszystko ładnie pięknie wyszło
Zadanie 3.
\(\displaystyle{ 50 \cdot 0,2 = 10}\)
\(\displaystyle{ 50-10=40}\)
\(\displaystyle{ 40 \cdot 0,2=8}\)
\(\displaystyle{ 40-8=32}\)
\(\displaystyle{ 32 \cdot 0,2=6,4}\)
\(\displaystyle{ 32-6,4=25,6}\)
\(\displaystyle{ 25,6 \cdot 0,2=5,12}\)
\(\displaystyle{ 25,6-5,12= 20,48}\)
\(\displaystyle{ 20,48 \cdot 0,2=4,096}\)
\(\displaystyle{ 16,384}\)

[loitzl9006]

No i dobrze, teraz czwarte. Przyjmij np. że \(\displaystyle{ x}\) jest początkową ceną komputera.

[aniaa93]

teraz nie mam pomysłu jak obliczyć \(\displaystyle{ a_{1}}\) , kiedy mam podane \(\displaystyle{ a_{4}}\) ?

[loitzl9006]

Co to znaczy, że komputer potaniał o \(\displaystyle{ 10 \%}\) ? To znaczy, że po obniżce komputer kosztuje \(\displaystyle{ 90 \%}\) ceny pierwotnej (czyli przed obniżką).

Jeżeli przyjmiemy \(\displaystyle{ x}\) za cenę pierwotną, to po obniżce cena komputera wynosi \(\displaystyle{ 0.9x}\) czyli \(\displaystyle{ a_1=x, \ a_2=0.9x}\) itd. \(\displaystyle{ a_4}\) wyliczysz metodą z Zadania 2.