Badanie rozwiązalności układu w zal. od parametru a

Bartek298 · Post autor: **Bartek298** » 8 sie 2012, o 18:56

Witam,
Mam problem z rozwiązaniem następującego zadania.
\(\displaystyle{ \begin{cases} (a-1)x+ay=2a-1\\-x+y=2\\ x+ay=0 \end{cases}}\)

Chciałbym prosić o rozwiązanie wraz z opisem kolejnych kroków.
Wiem że aby rozwiązać to zadanie należy stworzyć macierz główną i uzupełnioną, następnie znaleźć wyznacznik macierzy uzupełnionej i wyznaczyć z funkcji kwadratowej współczynniki a. Nie rozumiem co mam wykonać dalej.

Z góry dziękuje za pomoc.

Funktor · Post autor: **Funktor** » 8 sie 2012, o 19:01

Albo możesz po prostu rozwiązać układ ze względu na niewiadome traktując a jako jakąś wartość liczbową a gdy uzyskasz jawne wyrażenie na x i y jako funkcję a sprawdzić kiedy mają one sens.

Bartek298 · Post autor: **Bartek298** » 8 sie 2012, o 19:06

Nie rozumiem. Chcesz żebym za a przyjął dowolną liczbę ?

Funktor · Post autor: **Funktor** » 8 sie 2012, o 19:07

oczywiście że nie, rozwiązywałeś kiedyś jakiekolwiek zadanie z parametrem ?

Bartek298 · Post autor: **Bartek298** » 8 sie 2012, o 19:09

Wygląda na to że nie. Możesz mi zademonstrować jak rozwiązać to zadanie ?

Funktor · Post autor: **Funktor** » 8 sie 2012, o 19:12

Jasne, pokaże to co czego doszedłeś a ja powiem ci co zrobić dalej. Titaj masz przykład układu równań z parametrem ( rozwiązanie Vax-a ) 304846.htm#p4957863-- 8 sie 2012, o 19:14 --Rozwiązujesz tak jak każdy inny układ równan. Gdyby wyszło ci w jakimś zadaniu zależnym od parametru \(\displaystyle{ a}\) że \(\displaystyle{ x^{2} = -a ^{2}}\) to co byś napisał ?

Bartek298 · Post autor: **Bartek298** » 8 sie 2012, o 19:31

Zadanie to mam rozwiązać za pomocą macierzy.

\(\displaystyle{ \begin{cases} (a-1)x+ay=2a-1\\-x+y=2\\ x+ay=0 \end{cases}}\)
\(\displaystyle{ A=\left[\begin{array}{ccc}a-1&a&\\-1&1&\\1&a&\end{array}\right]}\) \(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}a-1&a&2a-1\\-1&1&2\\1&a&0\end{array}\right]}\) następnie liczę wyznacznik macierzy B
\(\displaystyle{ B=\left[\begin{array}{ccc}a-1&a&2a-1\\-1&1&2\\1&a&0\\a-1&a&2a-1\\-1&1&2\end{array}\right]=0-2 a^{2}+a+2a-2a+1-2 a^{2}+2a-0=-4 a^{2}+3a+1}\)
Wyliczam parametr a
\(\displaystyle{ \Delta=25}\)
\(\displaystyle{ a_{1}= \frac{1}{4}}\)
\(\displaystyle{ a_{2}=1}\)

I co dalej z tym fantem można zrobić ?

Funktor · Post autor: **Funktor** » 8 sie 2012, o 20:34

To wyznaczyłeś miejsca zerowe wyznacznika. Znasz kryteria rozwiązywalności układu równań jak stosuje się metodę wyznacznikową ? Musisz jeszcze policzyć \(\displaystyle{ W_{x}}\) oraz \(\displaystyle{ W_{y}}\) oraz wyznaczyć niewiadome korzystając z odpowiedniego wzoru zawierającego te 3 wyznaczniki które będziesz miał -- 8 sie 2012, o 21:26 --Udało się ?

Bartek298 · Post autor: **Bartek298** » 8 sie 2012, o 21:32

O jakim wzorze zawierającym 3 wyznaczniki piszesz ? Możesz go podać ?

Funktor · Post autor: **Funktor** » 8 sie 2012, o 21:36

o got, widać że nawet metody nie znasz za dobrze- prosta wikipedia \(\displaystyle{ x = \frac{W_x}{W}}\) \(\displaystyle{ y = \frac{W_y}{W}}\)

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 8 sie 2012, o 21:40

Funktor, o got właśnie. Sam znasz metodę? Macierz główna nie jest kwadratowa, a Ty te wzory podajesz? Serio?

Funktor · Post autor: **Funktor** » 8 sie 2012, o 21:44

No ja znam, nie zwróciłem uwagi że macierz B nagle zmieniła wymiar, ale to już świadczy o kimś jak on liczy wyznacznik macierzy nie kwadratowej. Wpierw jest kwadratowa a potem nie.

-- 8 sie 2012, o 21:45 --

dobra wyszedł bezsens,dodać te 2 równania ostatnie, i jest macierz 2 na 2-- 8 sie 2012, o 21:46 --Nie pozostaje nic innego jak przyznać się do mojego bezgranicznego gapiostwa które doprowadziło do tego że nie pomogłem za bardzo w rozwiązaniu zadania.

justynian · Post autor: **justynian** » 8 sie 2012, o 22:12

Nie masz liczyć wyznacznika macierzy uzupełnionej, najpierw oblicz rzędy obu macierzy, potem pytanie czy tw. Capelliego jest znane ? (o ile masz to właśnie tą metodą rozwiązać)