[IMO 2012] Zadania

Wszelkie konkursy oraz olimpiady matematyczne poza granicami Polski.
Awatar użytkownika
kalmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 lip 2012, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[IMO 2012] Zadania

Post autor: kalmar » 2 sie 2012, o 18:49

Zadanie 1. Punkt \(\displaystyle{ J}\) jest środkiem okręgu dopisanego do trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) naprzeciwko wierzchołka \(\displaystyle{ A}\).
Okrąg ten jest styczny do boku \(\displaystyle{ BC}\) w punkcie \(\displaystyle{ M}\) oraz do prostych \(\displaystyle{ AB}\) i \(\displaystyle{ AC}\) odpowiednio w punktach
\(\displaystyle{ K}\) i \(\displaystyle{ L}\). Proste \(\displaystyle{ LM}\) i \(\displaystyle{ BJ}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ F}\) , a proste \(\displaystyle{ KM}\) i \(\displaystyle{ CJ}\) przecinają się w punkcie \(\displaystyle{ G}\).
Niech \(\displaystyle{ S}\) będzie punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AF}\) i \(\displaystyle{ BC}\), a \(\displaystyle{ T}\) punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AG}\) i \(\displaystyle{ BC}\).
Wykazać, że punkt \(\displaystyle{ M}\) jest środkiem odcinka \(\displaystyle{ ST}\) .

Zadanie 2. Niech \(\displaystyle{ n\geq3}\) będzie liczbą całkowitą oraz niech \(\displaystyle{ a_2,a_3,...,a_n}\) będą dodatnimi liczbami rzeczywistymi, dla których \(\displaystyle{ a_2a_3...a_n=1}\). Udowodnić, że:
\(\displaystyle{ (1+a_2)^2(1+a_3)^3...(1+a_n)^n > n^n}\)

Zadanie 3.Gra w zgadującego i kłamcę rozgrywa się pomiędzy dwoma graczami \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\). Reguły
gry są zależne od dwóch całkowitych dodatnich liczb \(\displaystyle{ k}\) i \(\displaystyle{ n}\), które są znane obu graczom.
Na początku gracz \(\displaystyle{ A}\) wybiera liczby całkowite \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ N}\) spełniające \(\displaystyle{ 1 \leq x \leq N}\) . Gracz \(\displaystyle{ A}\) trzyma
liczbę \(\displaystyle{ x}\) w tajemnicy, natomiast liczbę \(\displaystyle{ N}\) przekazuje graczowi \(\displaystyle{ B}\). Gracz \(\displaystyle{ B}\) z kolei próbuje zdobyć
informacje o liczbie \(\displaystyle{ x}\) zadając graczowi \(\displaystyle{ A}\) pytania. Przed każdym pytaniem gracz \(\displaystyle{ B}\) wybiera dowolny
zbiór \(\displaystyle{ S}\) dodatnich liczb całkowitych, po czym pyta gracza \(\displaystyle{ A}\), czy liczba \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ S}\). Gracz
\(\displaystyle{ B}\) może zadać tyle pytań, ile chce, może także wielokrotnie wybierać ten sam zbiór \(\displaystyle{ S}\). Na każde
pytanie gracza \(\displaystyle{ B}\), gracz \(\displaystyle{ A}\) musi natychmiast odpowiedzieć, odpowiadając tak lub nie. Może przy
tym skłamać dowolną liczbę razy, pamiętając jednak, że odpowiadając na każde \(\displaystyle{ k + 1}\) kolejnych
pytań, co najmniej raz musi powiedzieć prawdę.
Po zakończeniu zadawania pytań gracz \(\displaystyle{ B}\) musi podać zbiór \(\displaystyle{ X}\) złożony z co najwyżej \(\displaystyle{ n}\) dodatnich
liczb całkowitych. Jeśli liczba \(\displaystyle{ x}\) należy do zbioru \(\displaystyle{ X}\), gracz \(\displaystyle{ B}\) wygrywa, w przeciwnym wypadku,
gracz \(\displaystyle{ B}\) przegrywa. Dowieść, że
1. jeśli \(\displaystyle{ n \geq 2^k}\) , to gracz \(\displaystyle{ B}\) może zagwarantować sobie zwycięstwo,
2. dla każdej dostatecznie dużej liczby \(\displaystyle{ k}\) istnieje taka liczba całkowita \(\displaystyle{ n \geq 1.99^k}\) , przy której gracz \(\displaystyle{ B}\) nie może zagwarantować sobie wygranej.

Zadanie 4. Wyznaczyć wszystkie takie funkcje \(\displaystyle{ f:\mathbb{Z} \rightarrow \mathbb{Z}}\), że dla dowolnych liczb całkowitych \(\displaystyle{ a,b,c}\) spełniających \(\displaystyle{ a+b+c=0}\) zachodzi równość:
\(\displaystyle{ f(a)^2+f(b)^2+f(c)^2=2f(a)f(b)+2f(b)f(c)+2f(c)f(a)}\)
(Symbol \(\displaystyle{ \mathbb{Z}}\) oznacza zbiór liczb całkowitych)

Zadanie 5. Niech \(\displaystyle{ ABC}\) będzie trójkątem, w którym \(\displaystyle{ \angle BCA = 90^{\circ}}\) oraz niech \(\displaystyle{ D}\) będzie spodkiem wysokości opuszczonej z wierzchołka \(\displaystyle{ C}\). Punkt \(\displaystyle{ X}\) leży wewnątrz odcinka \(\displaystyle{ CD}\). Niech \(\displaystyle{ K}\) będzie punktem leżącym na odcinku \(\displaystyle{ AX}\), przy czym \(\displaystyle{ BK = BC}\). Niech \(\displaystyle{ L}\) będzie punktem leżącym na odcinku \(\displaystyle{ BX}\), przy czym \(\displaystyle{ AL = AC}\). Punkt \(\displaystyle{ M}\) jest punktem przecięcia prostych \(\displaystyle{ AL}\) i \(\displaystyle{ BK}\).
Wykazać, że \(\displaystyle{ MK = ML}\).

Zadanie 6. Wyznaczyć wszystkie dodatnie liczby całkowite \(\displaystyle{ n}\), dla których istnieją nieujemne liczby całkowite \(\displaystyle{ a_1,a_2,...,a_n}\) spełniające:
\(\displaystyle{ \frac{1}{2^{a_1}}+\frac{1}{2^{a_2}}+...+\frac{1}{2^{a_n}}=\frac{1}{3^{a_1}}+\frac{2}{3^{a_2}}+...+\frac{n}{3^{a_n}}=1}\)

Awatar użytkownika
Funktor
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 482
Rejestracja: 21 gru 2009, o 15:18
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 63 razy

[IMO 2012] Zadania

Post autor: Funktor » 2 sie 2012, o 19:23

poza 3,4,6 które wydają mi się mocno harde, to chyba do zrobienia, może któreś skrobnę i wrzucę jak będę miał trochę czasu. Może wypowiedzą się tegoroczni uczestnicy ?

Awatar użytkownika
kalmar
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 2
Rejestracja: 9 lip 2012, o 12:14
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa

[IMO 2012] Zadania

Post autor: kalmar » 2 sie 2012, o 22:45

Zadanie 2.
Ukryta treść:    

marcin_smu
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 53
Rejestracja: 21 lut 2011, o 20:49
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Skierniewice
Pomógł: 10 razy

[IMO 2012] Zadania

Post autor: marcin_smu » 3 sie 2012, o 03:21

4:    

emil99
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 55
Rejestracja: 14 gru 2013, o 23:24
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Rzeszów
Podziękował: 2 razy
Pomógł: 4 razy

[IMO 2012] Zadania

Post autor: emil99 » 14 gru 2013, o 23:46

Zadanie 1
Ukryta treść:    
Zadanie 2
Ukryta treść:    
Zadanie 3
Ukryta treść:    
Zadanie 4
Ukryta treść:    
Zadanie 5
Ukryta treść:    
Zadanie 6
Ukryta treść:    
Komentarz do zadań
Ukryta treść:    

Awatar użytkownika
Swistak
Użytkownik
Użytkownik
Posty: 1874
Rejestracja: 30 wrz 2007, o 22:04
Płeć: Mężczyzna
Lokalizacja: Warszawa
Podziękował: 99 razy
Pomógł: 87 razy

[IMO 2012] Zadania

Post autor: Swistak » 15 gru 2013, o 14:01

Wtf? Mógłbyś napisać konkretne rozwiązania do 2. i 3.? Indukcja zwykła czy wsteczna moim zdaniem tu nie ma prawa działać, bo założenie się kopsa i się dzieją rzeczy, nad którymi nie za bardzo da się zapanować. A co do 3. to widziałem wiele osób rozwiązujących to zadanie i nikt nigdy nie miał najmniejszego nawiązania do jakichkolwiek grafów, bardzo wątpię, aby miały one jakiekolwiek zastosowanie w tym zadaniu. A, no i z ciekawości bym spytał o odpowiedź do zadania 4. . Nie rozwiązanie, bo nie będzie mi się chciało go czytać, ale jedynie te funkcje, które w końcowym efekcie wychodziły.
No i dodajmy do tego, że wrzucanie "rozwiązań" złożonych z 2 słów zawsze uważałem za bucerskie, nic nie wnosi do tematu tylko ma wydźwięk "patrzcie jaki jestem zarąbisty" .

ODPOWIEDZ