Witam serdecznie,
Coś podobnego do niedawnego tematu. Chodzi mi o takową pochodną:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{2}j_{0}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)\mathrm{d}r}\)
lub inaczej (zapisując jawnie funkcję Bessela w całce):
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{2}\frac{\sin\left(2\pi yr/x\right)}{\left(2\pi yr/x\right)}\mathrm{d}r}\)
Przyznam, że się strasznie zaciąłem to licząc... Nie chodzi mi o jakieś szczególnie dokładne analityczne wyprowadzenie wzoru, ale raczej o to czy da się to sprowadzić do postaci takiej jak sama całka, której próbuję policzyć pochodną (\(\displaystyle{ f(r)}\) to jakaś funkcja o symetrii sferycznej, z reguły wyrażona jako kombinacja funkcji Slatera).
Z góry dzięki i pozdrawiam,
Radek
Pochodna całki z funkcją Bessela
-
rkaminski
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Pochodna całki z funkcją Bessela
Ależ to jest czysta krystalografia:) Z tym, że zanim coś sobie zaimplementuję to muszę to wcześniej przeliczyć, a niestety wyszło się z wprawy...
-
rkaminski
- Użytkownik
- Posty: 51
- Rejestracja: 8 maja 2005, o 21:43
- Płeć: Mężczyzna
- Lokalizacja: Warszawa
- Podziękował: 2 razy
Pochodna całki z funkcją Bessela
Ok, zatem jak sugeruje post powyżej to mam:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{2}j_{0}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)\mathrm{d}r=\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{2}\frac{\mathrm{d}j_{0}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)\mathrm{d}r}\)
Jeśli spełnione jest dla sferycznych funkcji Bessela pierwszego rodzaju, że:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}j_{0}}{\mathrm{d}x}\left(x\right)=-j_{1}\left(x\right)}\)
to jeśli się nie mylę otrzymam:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}j_{0}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)=\frac{2\pi yr}{x^{2}}\cdot j_{1}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)}\)
Zatem ostatecznie moja całka wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{2\pi y}{x^{2}}\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{3}j_{1}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)\mathrm{d}r}\)
co już umiem nawet numerycznie policzyć. Czy ktoś może ew. na to zerknąć i to sprawdzić? Ciekawe czy da się coś podobnego otrzymać biorąc w całce funkcję Bessela dowolnego rzędu? Ale wtedy chyba wyrażenie na pochodną funkcji Bessela się dość komplikuje...
Z góry dzięki.
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{2}j_{0}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)\mathrm{d}r=\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{2}\frac{\mathrm{d}j_{0}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)\mathrm{d}r}\)
Jeśli spełnione jest dla sferycznych funkcji Bessela pierwszego rodzaju, że:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}j_{0}}{\mathrm{d}x}\left(x\right)=-j_{1}\left(x\right)}\)
to jeśli się nie mylę otrzymam:
\(\displaystyle{ \frac{\mathrm{d}j_{0}}{\mathrm{d}x}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)=\frac{2\pi yr}{x^{2}}\cdot j_{1}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)}\)
Zatem ostatecznie moja całka wynosi:
\(\displaystyle{ \frac{2\pi y}{x^{2}}\intop_{0}^{\infty}f\left(r\right)r^{3}j_{1}\left(\frac{2\pi yr}{x}\right)\mathrm{d}r}\)
co już umiem nawet numerycznie policzyć. Czy ktoś może ew. na to zerknąć i to sprawdzić? Ciekawe czy da się coś podobnego otrzymać biorąc w całce funkcję Bessela dowolnego rzędu? Ale wtedy chyba wyrażenie na pochodną funkcji Bessela się dość komplikuje...
Z góry dzięki.