Obliczyć granicę

[conseil]

\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+25} -5}}\)
Próbowałem mnożenia przez sprzężenie:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}+1}-1}{\sqrt{x^{2}+25} -5} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+25} +5}{ \sqrt{x^{2}+25} +5} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{(x^{2}+1)(x^{2}+25)} + 5 \sqrt{x^{2}+1} - \sqrt{x^{2}+25} -5 }{x^{2}}}\)
Jak to zrobić?

[szw1710]

Podobny zabieg musisz zrobić z licznikiem - Twój krok idzie w dobrym kierunku. Bo na razie dalej masz \(\displaystyle{ \frac{0}{0}.}\)

[conseil]

Aha, w ten sposób:
\(\displaystyle{ \lim_{x \to 0} \left[ \frac{\sqrt{x^{2}+1} -1}{\sqrt{x^{2}+25} -5} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+1} +1 }{\sqrt{x^{2}+1} +1} \cdot \frac{\sqrt{x^{2}+25} +5}{\sqrt{x^{2}+25} +5} \right] = \lim_{x \to 0} \frac{(x^{2}+1-1)(\sqrt{x^{2}+25} + 5)}{(x^{2} +25 - 25)(\sqrt{x^{2} + 1} + 1)} = \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{x^{2}+25} +5}{\sqrt{x^{2} + 1} +1} = \frac{10}{2} = 5}\)
Wynik się zgadza, więc chyba ok.
Dzięki za pomoc.