[Planimetria] 3 zadania z Pompego

[chechlacz]

1) Punkt \(\displaystyle{ I}\) jest środkiem okręgu wpisanego w trójkąt \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ P}\) i \(\displaystyle{ Q}\) są rzutami prostokątnymi punktu \(\displaystyle{ C}\) odpowiednio na proste \(\displaystyle{ AI}\) i \(\displaystyle{ BI}\). Znając długości boków trójkąta \(\displaystyle{ ABC}\) obliczyć długość odcinka \(\displaystyle{ PQ}\).

2) Dany jest równoległobok \(\displaystyle{ ABCD}\). Pewna prosta przecina odcinki \(\displaystyle{ AB}\), \(\displaystyle{ AC}\), \(\displaystyle{ AD}\) odpowiednio w punktach \(\displaystyle{ E}\), \(\displaystyle{ F}\), \(\displaystyle{ G}\). Dowieść, że \(\displaystyle{ \frac{AB}{AE}+\frac{AD}{AG}=\frac{AC}{AF}}\).

3) Dany jest sześciokąt wypukły ABCDEF, w którym \(\displaystyle{ AB || DE}\), \(\displaystyle{ BC || EF}\) i \(\displaystyle{ CD || AF}\). Udowodnić, że proste łączące środki przeciwległych boków tego sześciokąta są współpękowe.

[cyberciq]

hint do 1:    

Przedłuż \(\displaystyle{ CQ}\) i \(\displaystyle{ CP}\) do przecięcia z AB. Powstają fajne trójkąty

hint do 2:    

Narysuj prostą równoległą do \(\displaystyle{ GF}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ D}\), prostą równoległą do \(\displaystyle{ FE}\) przechodzącą przez \(\displaystyle{ B}\), potem pokombinuj Talesami i jakieś przystawanie

hint do 3:    

narysuj przekątne \(\displaystyle{ AB}\),\(\displaystyle{ BD}\) i \(\displaystyle{ FC}\) ,Proste te przecinając się parami tworzą trójkąt. Pokazać ,że przez wierzchołki tego trójkata przechodzą proste łączace środki przeciwległych boków.

pozdrawiam