całka krzywloniowa, niezależność drog całkowania

[mekeyn]

witam
\(\displaystyle{ \int_{k}^{} \frac{y \mbox{d}x - x \mbox{d}y }{y^2}}\), od punktu \(\displaystyle{ A(1,2)}\) do \(\displaystyle{ B(2,1)}\) wzdłuż dorgi nie przecinającej osi \(\displaystyle{ OX}\) odp. \(\displaystyle{ - \frac{3}{2}}\)

wychodzi mi \(\displaystyle{ \frac{3}{2}}\) bo nie rozumiem co to oznacza "wzdłuż drogi nie przecinającej osi OX". Jak to uwzględnić w obliczeniach?

[Lorek]

wzdłóż

0.o

co to oznacza "wzdłuż drogi nie przecinającej osi OX". Jak to uwzględnić w obliczeniach?

Czyli po jakiejkolwiek krzywej nieprzecinającej osi OX (bo funkcja podcałkowa nie jest tam określona). Nijak nie musisz tego uwzględniać w tym zadaniu (poza wyborem odpowiedniej drogi spełniającej ten warunek).

Edit: no, może nie do końca "nijak" bo trzeba zaznaczyć, że działa się w jakimś obszarze jednospójnym jak chce się korzystać z potencjalności.

[mekeyn]

Dalej nie rozumiem. Jak zaznaczyć, że działa się w jakimś obszarze jednospójnym? Patrząc na ten mój prykład to wsytarczyło by postawić minus przed całką, to wynik zgadzał by się z odpowiaedzią, ale nie jest to dobre rozumowanie.

[d-cube]

Ta całka nie jest dodatnio zorientowana, ponieważ z def. aby była dodatnio zorientowana musi biegnąć w przeciwną stronę niż wskazówki zegara. W tym przypadku biegnie ona z punktu A do punktu B (zgodnie z wskazówkami zegara) -> czyli jest ujemnie zorientowana trzeba dać minus przed całką. I jak do tego się dostosujesz to będzie Ci się później wszystko zgadzać

[Lorek]

Wartość całki krzywoliniowej nie zależy od drogi całkowania w polu potencjalnym w obszarze jednospójnym. Jak sprawdzić czy pole jest potencjalne to chyba wiesz? A obszar jednospójny to na chłopski rozum obszar w jednym kawałku bez dziur w środku. Mamy nasze pole \(\displaystyle{ \left[\frac{y}{y^2}, \frac{-x}{y^2}\right]}\) określone na całym \(\displaystyle{ \RR^2}\) poza \(\displaystyle{ y=0}\) i jak na to popatrzymy to mamy obszar w dwóch kawałkach, czyli nie pasuje. Ale jak popatrzymy na punkty jakie mamy i drogę jaką możemy mieć, to okazuje się, że poruszamy się tylko po obszarze gdzie \(\displaystyle{ y>0}\), czyli możemy ograniczyć się do obszaru \(\displaystyle{ \RR \times \RR_+}\), a ten już jest jednospójny. Pozostaje policzyć całkę, a skoro wartość całki nie zależy od drogi całkowania (co oczywiście trzeba sprawdzić na początek), to wybieramy dowolną krzywą łączącą \(\displaystyle{ A}\) i \(\displaystyle{ B}\) i liczymy wartość całki wzdłuż tej drogi.-- N, 22 lip 2012, 19:07 --d-cube, jak można mówić o orientacji skoro droga nie jest zamknięta?

[d-cube]

Racja mała pomyła.