Ciekawa suma z silnią

[BSP]

Witam! ^^

Myślę od wczorajszego wieczoru nad pewną sumą:

\(\displaystyle{ f(n) = \sum_{k=0}^{n}k! {n \choose k} = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!} = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!}}\);

\(\displaystyle{ f(0)=1}\)

Próbowałem znaleźć wzór jawny szukając jakiejś ciekawej interpretacji kombinatorycznej, ale nic nie mogę wykombinować . Jedyne przydatne dla mnie własności jakie mam, to

\(\displaystyle{ f(0)=1}\) ;
\(\displaystyle{ f(n) = 1 + n f(n-1)}\)

i że dla \(\displaystyle{ n>0}\) możemy policzyć dokładną wartość, korzystając z części całkowitej i rozwinięcia w szereg liczby \(\displaystyle{ e}\)

\(\displaystyle{ f(n) = n! \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} = \left[ n! \sum_{k=0}^{ \infty} \frac{1}{k!} \right] = \left[ n! e \right]}\)

gdyż wtedy mamy : \(\displaystyle{ e - \sum_{k=0}^{n} \frac{1}{k!} < \frac{1}{n!}}\)

Macie może jakieś ciekawe pomysły, co można z tym jeszcze zrobić? Na przykład czy jest jeszcze jakiś inny ładny wzór na tą sumę, nie odwołujący się do funkcji podłogi?

[Lorek]

Zabawa z mathematicą i wikipedią dała w rezultacie:
\(\displaystyle{ f(n) = \sum_{k=0}^{n} \frac{n!}{k!}=e\cdot \Gamma (n+1,1)=e\cdot \left(\int_1^\infty t^n e^{-t}\dd t\right)}\)
gdzie \(\displaystyle{ \Gamma(s,x)=\int_x^\infty t^{s-1} e^{-t}\dd t}\) -> Może znajdziesz na tej stronie coś więcej.

[ksisquare]

1, 2, 5, 16, 65, 326, 1957, 13700, 109601, 986410, 9864101, ... (Sloane's

Kod: Zaznacz cały

http://oeis.org/A000522

)