[Nierówności] Trzy minima z warunkami

[Spokojny_]

Dla \(\displaystyle{ a_1,...,a_n\in\mathbb{R}}\)
1. takich, że \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_k=1}\), znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_k^2}\).

\(\displaystyle{ p_1,...,p_n}\) są ustalonymi liczbami rzeczywistymi dodatnimi

2. Znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}p_ka_k^2}\), gdy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_k=1}\)

3. Znaleźć najmniejszą wartość wyrażenia \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}a_k^2+\left (\sum_{k=1}^{n}a_k \right )^2}\), gdy \(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n}p_ka_k=1}\)

Hint:

Ukryta treść:    

Nierówność Cauchy'ego-Schwarza

[Lorek]

Z tą podpowiedzią to już jest oczywista oczywistość.

1:    

\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}1^2\right)\ge \left(\sum_{k=1}^{n} a_k\cdot 1\right)^2\Rightarrow \left(\sum_{k=1}^{n}a_k^2\right) \ge \frac{1}{n}}\)
Pozostaje pokazać, że ta wartość jest osiągana, a jest tak dla \(\displaystyle{ a_i=\frac{1}{n}}\)

2:    

\(\displaystyle{ \left(\sum_{k=1}^{n}p_k a_k^2\right)\left(\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k}\right)\ge \left(\sum_{k=1}^{n} \sqrt{p_k}a_k \cdot \frac{1}{\sqrt{p_k}}\right)^2\Rightarrow \left(\sum_{k=1}^{n}p_k a_k^2\right) \ge \frac{1}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k}}}\)
Równość dla \(\displaystyle{ a_i= \frac{\frac{1}{p_i}}{\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{p_k}}}\)

[Spokojny_]

Rozwiązanie do 3:

Ukryta treść:    

\(\displaystyle{ \sum_{k=1}^{n} p_k a_k = 1 \Rightarrow \forall_{A\in\mathbb{R}}
1=\sum_{k=1}^{n}(p_k-A)a_k + A\sum_{k=1}^{n}a_k}\)

co razem z zastosowaniem nierówności Cauchy'ego-Schwarza daje

\(\displaystyle{ \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n}(p_k-A)^2 \right ) + A^2 \right )
\left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 + \left ( \sum_{k=1}^{n}a_k \right )^2 \right ) \geq 1}\)

zatem
\(\displaystyle{ \left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 + \left ( \sum_{k=1}^{n}a_k \right )^2 \right )\geq
\frac{1}{\left ( \left ( \sum_{k=1}^{n}(p_k-A)^2 \right ) + A^2 \right )}}\)

Czyli kładąc \(\displaystyle{ A = \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}p_k}\) otrzymujemy najlepsze oszacowanie od dołu.
Więc:

\(\displaystyle{ \left ( \sum_{k=1}^{n}a_k^2 + \left ( \sum_{k=1}^{n}a_k \right )^2 \right )\geq
\frac{n+1}{(n+1)\sum_{k=1}^{n} p_k^2 - \left ( \sum_{k=1}^{n}p_k \right )^2}}\)

Równość jest osiągnięta dla:

\(\displaystyle{ a_k =
\frac{(n+1)p_k-\sum_{k=1}^{n}p_k}{(n+1)\sum_{k=1}^{n}p_k^2 - \left ( \sum_{k=1}^{n}p_k \right )^2}}\)

Byłbym bardzo wdzięczny za odpowiedzi na moje pytania:

Ukryta treść:    

1) Dlaczego oszacowanie \(\displaystyle{ A = \frac{1}{n+1}\sum_{k=1}^{n}p_k}\) jest najlepsze?

2) Skąd wywnioskować, kiedy zachodzi równość? (podejrzewam, że z jakiegoś warunku na równość w nierówności Cauchy'ego-Schwarza

3) W ogóle ma ktoś pomysł, jak wpaść na takie oszacowanie z odpowiednim przekształceniem założenia?

[cyberciq]

Ukryta treść:    

Ad. 1. Np. można to dowieść ze wzoru na wsp. wierzchołka paraboli \(\displaystyle{ \left ( \left ( \sum_{k=1}^{n}(p_k-A)^2 \right ) + A^2 \right )}\), która osiąga w tym pktcie minimum

pozdrawiam

[Lorek]

ad 2:    

Równość w nierówności
\(\displaystyle{ \left(\sum a_n^2\right)\left(\sum b_n^2\right)\ge \left(\sum a_n b_n\right)^2}\)
zachodzi wtw gdy ciągi \(\displaystyle{ a_n,b_n}\) są liniowo zależne, czyli \(\displaystyle{ \exists c\ \forall n\ \big(a_n=c\cdot b_n \vee b_n=c\cdot a_n \big)}\)
i z tego jakoś trzeba szukać przypadku "\(\displaystyle{ =}\)"