homomorficzność funkcji

[liwonze]

witam. żeby sprawdzić czy funkcja jest homomorficzna to muszę sprawdzić czy są spełnione równania Cauchy'ego Riemmana czy policzyć takie coś jak jest na wiki:\(\displaystyle{ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}}\)? bo już widziałam różne definicje i w końcu nie wiem :/

[Lorek]

Holomorficzna. Samo sprawdzenie równań Cauchy'ego - Riemanna nie wystarczy, trzeba jeszcze coś dołożyć (np. ciągłość funkcji). A co do \(\displaystyle{ \lim_{z \to z_0} \frac{f(z)-f(z_0)}{z-z_0}}\) to możesz i tak, ale oprócz punktu \(\displaystyle{ z_0}\) musisz jeszcze sprawdzić wszystkie punkty w pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ z_0}\) (holomorficzność to różniczkowalność na pewnym zbiorze otwartym, nie tylko w punkcie).

[liwonze]

czyli np jak sprawdze czy spelnia rownania Cauchy'ego Riemanna i zbadam ciaglosc to wystarczy? tzn ciaglosc w tych pkt ktore nie naleza do dziedziny ;]

[Lorek]

A od kiedy to bada się ciągłość w punktach nienależących do dziedziny? Masz funkcję określoną na pewnym zbiorze otwartym, sprawdzasz czy na tym zbiorze jest ciągła, sprawdzasz czy na tym zbiorze spełnione są równania C-R, dwa razy tak - funkcja holomorficzna.

[liwonze]

aha ok, mi się chyba pomieszłao z asymptotą;) ale jak mam funkcję \(\displaystyle{ sin\frac{1}{z}}\) i obszar \(\displaystyle{ | z-1 |=3}\) i jak mam to sprawdzić? chyba jak napisze że sinus jest ciągły więc na tym okręgu też jest, to nie wystarczy :]

[Lorek]

Nie wystarczy, bo zbiór \(\displaystyle{ |z-1|=3}\) nie jest otwarty w \(\displaystyle{ \CC\quad}\). Musisz znaleźć zbiór otwarty, który zawiera w sobie zbiór \(\displaystyle{ |z-1|=3}\) i na takim zbiorze badać holomorficzność tej funkcji (co jest w sumie oczywiste dla tego przykładu, ale kto wie co dla autora zadania znaczy "oczywiste").

[liwonze]

no to np \(\displaystyle{ |z-1|>2}\) jest otwarty i zawiera \(\displaystyle{ |z-1|=3}\) tylko jak badam ciągłość na zbiorze \(\displaystyle{ |z-1|>2}\) to policzyć granice w jakiś konkretnych punktach? ;D

[Lorek]

Niby może być, choć lepiej byłoby rozważyć zbiór \(\displaystyle{ 4>|z-1|>2}\). Formalnie to powinnaś pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ z_0}\) z tego zbioru zachodzi \(\displaystyle{ \lim_{z\to z_0}f(z)=f(z_0)}\), a trochę mniej formalnie to wystarczy się powołać na to, że to jest funkcja elementarna, a takie są ciągłe.

[liwonze]

ok:) dzięki za pomoc