Całka - definicja

mateuszt24 · Post autor: **mateuszt24** » 11 lip 2012, o 16:43

Czy prawdą będzie powiedzenie, że całka jest to wartość średnia funkcji na jakimś przedziale?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 11 lip 2012, o 16:47

Nie. Nie jest to prawda

mateuszt24 · Post autor: **mateuszt24** » 11 lip 2012, o 16:48

A jak można by określić ogólnie pojęcie całka?

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 11 lip 2012, o 16:49

mateuszt24 · Post autor: **mateuszt24** » 11 lip 2012, o 16:53

chodzi mi o to jak powiedzieć ogólnie czym jest całka, bez wchodzenia w różne całki typu oznaczone, nieoznaczone, stochastyczne itp. Jak można intuicyjnie odpowiedzieć dla ogółu

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 11 lip 2012, o 16:57

Dla ogółu zatem się nie da.

OQO · Post autor: **OQO** » 13 lip 2012, o 00:00

pole pod wykresem, tak sie zazwyczaj wprowadza pojecie calki. albo ogolniej suma nieskonczenie malych fragmentow.

spamer · Post autor: **spamer** » 13 lip 2012, o 00:04

Tylko, że do, np. nieoznaczonej już nie pasuje.

OQO · Post autor: **OQO** » 13 lip 2012, o 00:09

nieoznaczona to jakby operacja odwrotna do pochodnej. tylko zalezy teraz czy probujesz to wyjasnic komus kto wie co to pochodna czy nie.

spamer · Post autor: **spamer** » 13 lip 2012, o 00:17

Autor tematu chyba chciał jakąś zbiorczą definicję.

OQO · Post autor: **OQO** » 13 lip 2012, o 00:29

Chyba najbardziej intuicyjnym sposobem zrozumienia calki jest przez analogie do sumy. Wyobraz sobie ze masz zbiornik pewien kolorowych pileczek, sa one przeroznych kolorow z calego spektrum teczy, powiedzmy ze od fioletu do czerwonego kazda pileczka ma wartosc w granicy od 1 do 10 zł w zaleznosci od barwy. Jest ich tak duzo ze w zasadzie kazda barwa jest reprezentowana. Mozesz policzyc ile warty jest zbiornik liczac pileczki i patrzac ile sa warte. Teraz wyobraz sobie ze kazda pileczka rozpada sie na dwie polowki, z czego kazda warta jest polowe pierwotnej ceny. Calkowita wartosc zbiornika sie nie zmienila. Teraz wyobraz sobie ze tak sie stalo milion razy. Kazda pileczka jest nieskonczenie mala i jest warta nieskonczenie malo, ale wartosc zbiornika jest skonczona. Nie mozesz ich policzyc na palcach ale znajac rozlozenie barw pileczek w zbiorniku jestes w stanie podac z grubsza ile on jest wart.

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 13 lip 2012, o 00:37

OQO pisze:Chyba najbardziej intuicyjnym sposobem zrozumienia calki jest przez analogie do sumy. Wyobraz sobie ze masz zbiornik pewien kolorowych pileczek, sa one przeroznych kolorow z calego spektrum teczy, powiedzmy ze od fioletu do czerwonego kazda pileczka ma wartosc w granicy od 1 do 10 zł w zaleznosci od barwy. Jest ich tak duzo ze w zasadzie kazda barwa jest reprezentowana. Mozesz policzyc ile warty jest zbiornik liczac pileczki i patrzac ile sa warte. Teraz wyobraz sobie ze kazda pileczka rozpada sie na dwie polowki, z czego kazda warta jest polowe pierwotnej ceny. Calkowita wartosc zbiornika sie nie zmienila. Teraz wyobraz sobie ze tak sie stalo milion razy. Kazda pileczka jest nieskonczenie mala i jest warta nieskonczenie malo, ale wartosc zbiornika jest skonczona. Nie mozesz ich policzyc na palcach ale znajac rozlozenie barw pileczek w zbiorniku jestes w stanie podac z grubsza ile on jest wart.

Ojej. Sobie wyobrażam jak na studiach wykładowca takie rzeczy mówi. Mamy rózne całki, jednej definicji nie ma.

OQO · Post autor: **OQO** » 13 lip 2012, o 00:49

Aha teraz sie zorientowalam ze przez 'dla ogolu' autor rozumial 'ogolna definicje calki'. Myslalam ze chodzi o cos w stylu wytlumaczenie dla dzieci albo dla humanistow

No ale tak jak zostalo powiedziane, mimo ze definicje roznych calek sa inne, to jednak bardzo podobne.

Za kazdym razem gdy liczysz calke z jakies funkcji na jakims obiekcie (odcinek, krzywa, powierzchnia, objetosc), to chodzi ci z grubsza o podzielenie tego obiektu na male "podobiekty" i dodawanie skladnikow typu

(srednia wartosc danej funkcji na kolejnym z rzedu "podobiekcie")*(rozmiar "podobiektu")

I okazuje sie ze im drobniej dzielisz, tym blizej taka suma zaczyna sie zblizac do jakies wartosci, ktora nazywa sie calka. Oczywiscie wystepuje tutaj tona zalozen o zachowaniu twojej funkcji i sposobie dzielenia tego obiektu, i w ogole co to za obiekt, ale nie ma sensu w takim pogladowym opisie w to wchodzic.

Post autor: **smigol** » 13 lip 2012, o 07:31

OQO pisze:pole pod wykresem, tak sie zazwyczaj wprowadza pojecie calki.

A co to jest pole?

Pozdrowienia.

Funktor · Post autor: **Funktor** » 13 lip 2012, o 07:54

No więc nawiązując do postu wyżej i odpowiadając na pytanie o ogólne sformułowanie, takie w 100 % ogólnej to się nie da, a porządne określenie co to jest całka wymaga powiedzenia co to jest miara...