Funkcja klasy C1 - pochodne cząstkowe i punkty stacjonarne

[rkolacz92]

Witam. Proszę o pomoc w tym zadaniu:

Dana jest funkcja \(\displaystyle{ f(u,v) = u^{2}v - u}\), gdzie \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) są funkcjami klasy \(\displaystyle{ C^{1}}\) zmiennych \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\).

(a) \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} f(u,v) =}\)

(b) \(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial y} f(u,v) =}\)

(c) funkcja \(\displaystyle{ f}\) posiada/nie posiada punktu stacjonarnego, bo...

Czy w punkcie a i b to wystarczy zamienić \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) i policzyć po prostu pochodną cząstkową?

[justynian]

Czy w punkcie a i b to wystarczy zamienić \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) na \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\) i policzyć po prostu pochodną cząstkową?

Nie ale to będą po prostu pochodne cząstkowe funkcji złożonych.

[rkolacz92]

A mógłbyś mi to jakoś rozpisać?

[justynian]

dla a)\(\displaystyle{ \frac{\partial}{\partial x} f(u,v)= 2u{u_x}'v+{v_x}'u^2-{u_x}'}\)

[rkolacz92]

Nie ogarniam... skąd się to wzięło? ;/

[justynian]

1.Pochodne iloczynu umiemy liczyć ?
tak \(\displaystyle{ \rightarrow}\) 2., nie \(\displaystyle{ \rightarrow}\) google
2. Pochodne funkcji złożonej umiemy liczyć?
tak\(\displaystyle{ \rightarrow}\) no to wiemy czemu tak, nie \(\displaystyle{ \rightarrow}\) google

( ewentualnie to co już napisałem: ta pochodna cząstkowa to pochodna wyrażenia które jest funkcją złożoną zależną od x )

[Kanodelo]

wzór na to jest
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial u}= \frac{ \partial f}{ \partial x} \cdot \frac{ \partial x}{ \partial u} + \frac{ \partial f}{ \partial y} \cdot \frac{ \partial y}{ \partial u}}\)
miałem taki na ćwiczeniach, ale w tym przypadku jest odwrotnie tzn. \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) zależą od \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ y}\), więc wzór ten wygląda tak:
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x}= \frac{ \partial f}{ \partial u} \cdot \frac{ \partial u}{ \partial x} + \frac{ \partial f}{ \partial v} \cdot \frac{ \partial v}{ \partial x}}\)

czyli dla funkci podanej w zadaniu
\(\displaystyle{ \frac{ \partial F}{ \partial x}=(2uv-1) \frac{ \partial u}{ \partial x}+(u^2) \frac{ \partial v}{ \partial x} \\
\frac{ \partial F}{ \partial y}=(2uv-1) \frac{ \partial u}{ \partial y}+(u^2) \frac{ \partial v}{ \partial y}}\)

[rkolacz92]

To które rozwiązanie jest poprawne, bo już zgłupiałem...

[justynian]

oba bo są tym samym \(\displaystyle{ \frac{ \partial u}{ \partial x}={u_x}'}\), kolega wyżej napisał już jak do konia czy kobiety jak kto woli, przedstawiając wzory które powinieneś umieć/pamiętać/wiedzieć o ich istnieniu. Jeśli dalej czegoś nie widzisz to zadaj konkretne pytanie.

[rkolacz92]

Ok chyba już rozumiem... Dzięki za pomoc

A jeszcze się zapytam o punkt (c)... normalnie wiem jak sprawdzić, czy funkcja ma punkt stacjonarny, ale tutaj jakoś dziwnie to wygląda

[justynian]

tz. ? co jest dziwnego ?

[rkolacz92]

No czy należy tutaj wziąć pod uwagę pochodne po \(\displaystyle{ u}\) i \(\displaystyle{ v}\) czy te co są w punkcie (a) i (b)?

[justynian]

a próbowałeś po u i v ? widać coś ?