Suma szeregu

[AsiaPipitrasia]

Ech, mam problem z sumami szeregów.

Np. taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n}{7^n} x^{n+2}}\)

\(\displaystyle{ R= (-7, 7)}\)

I pytanie.. kiedy wiem, że mam całkować szereg wyraz po wyrazie? i co mi jest do tego potrzebne?

Mam mieć taką postać: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_n t^n}\)
i wtedy mogę całkować? czy co...? ktoś jakby mógł mi prostym, przystępnym językiem to wytłumaczyć... bd wdzięczna

[miodzio1988]

\(\displaystyle{ a_n}\)

Musisz mieć takie, żeby się skracało po policzeniu całki

[AdamL]

Ech, mam problem z sumami szeregów.

Np. taki szereg:
\(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } \frac{n}{7^n} x^{n+2}}\)

\(\displaystyle{ R= (-7, 7)}\)

I pytanie.. kiedy wiem, że mam całkować szereg wyraz po wyrazie? i co mi jest do tego potrzebne?

Mam mieć taką postać: \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{ \infty } a_n t^n}\)
i wtedy mogę całkować? czy co...? ktoś jakby mógł mi prostym, przystępnym językiem to wytłumaczyć... bd wdzięczna

Szereg wolno całkować, gdy jest on jednostajnie zbieżny i wtedy dla tych iksów wolno go całkować wyraz po wyrazie. Szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie wewnątrz swojego promienia zbieżności

[smigol]

Szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie wewnątrz swojego promienia zbieżności

To prawda, ale ogólnie:
Szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie wewnątrz każdego domkniętego przedziału zawartego wewnątrz promienia zbieżności.

[Dasio11]

Szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie wewnątrz swojego promienia zbieżności

To nieprawda: np. dla szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} x^n.}\)
Byłaby prawda, gdyby napisać 'niemal jednostajnie zbieżny', czyli mniej-więcej tak, jak napisał smigol.

[AdamL]

Szereg potęgowy jest zbieżny jednostajnie wewnątrz swojego promienia zbieżności

To nieprawda: np. dla szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=0}^{\infty} x^n.}\)
Byłaby prawda, gdyby napisać 'niemal jednostajnie zbieżny', czyli mniej-więcej tak, jak napisał smigol.

No owszem dla x=1 jest problem, aczkolwiek promień zb. traktuję jako odcinek otwarty (bez krańców).
Choć zgodnie z terminologią to chyba masz rację, bo ja na nazwach się nie znam

[Dasio11]

Ale ten szereg nie jest jednostajnie zbieżny ani na przedziale \(\displaystyle{ [-1, 1],}\) ani na \(\displaystyle{ (-1, 1).}\)

[AdamL]

Ale ten szereg nie jest jednostajnie zbieżny ani na przedziale \(\displaystyle{ [-1, 1],}\) ani na \(\displaystyle{ (-1, 1).}\)

No dobra, zgodzę się, ale tylko dlatego że zawsze możemy wybrać punkt tak blisko 1, dla którego
dobrane N nie będzie wystarczające. Troche terminologii mi się zapomniało i powiedziałem nieprawdę, cóż.
Faktycznie trzeba wybrać jakiś zwarty odcinek wewnątrz promienia zb. i na nim pokazywać zb. jednost. np [0,1-epsilon], a z tego wyniknie zb. niemal jednost. na [0,1)
Dzięki za przypomnienie!

Niemal poprawnie powiedziałem

Pozdrawiam