Układ równań niejednorodny

[kubus18]

Cześć!

Trzeba rozwiązać taki układ równań

\(\displaystyle{ \frac{dx}{dt} =x+3y}\)
\(\displaystyle{ \frac{dy}{dt} =3x+y+t+5}\)

Obliczam najpierw układ równań jednorodnych

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}1&3\\3&1\end{array}\right]}\)

Wyliczam lambdy, wychodzą mi dwa pierwiastki -2 i 4, wstawiam do lambd, wyliczam wartości i wektory własne i wychodzi układ jednorodny

\(\displaystyle{ C1e^{-2t}\left[\begin{array}{c}1\\-1\end{array}\right]+C2e^{4t}\left[\begin{array}{c}1\\1\end{array}\right]}\)

Następnie obliczam układ niejednorodny

\(\displaystyle{ \left[\begin{array}{cc}e^{-2t}&e^{4t}\\-e^{-2t}&e^{4t}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}C1'\\C2'\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}0\\t+5\end{array}\right]}\)

Całkuję C1 i C2 i wychodzi że:
\(\displaystyle{ C1= \frac{1}{4} e^{2t}t+ \frac{1}{2} e^{2t}+K1}\)

\(\displaystyle{ C2= -\frac{1}{8} e^{-4t}t- \frac{21}{32}e^{-4t}+K2}\)

I teraz moje pytanie, może wydać się trywialne, ale naprawdę nie mam na nie pomysłu... gdzie tutaj wparować x(0)=2 i y(0)=-2 ?? Takie były podane warunki na początku zadania...

Pozdrawiam

[octahedron]

Podstawiasz \(\displaystyle{ t=0}\) i dobierasz \(\displaystyle{ K_1,K_2}\), by uzyskać \(\displaystyle{ x=2,y=-2}\)