Pochodna logarytmu

yvonna · Post autor: **yvonna** » 27 cze 2012, o 23:34

Witam,
Otóż mam problem wyliczyć pochodną po p z :

\(\displaystyle{ p \cdot \ln p - \left( 1-p \right) \ln \left( 1-p \right)}\)

Już się w tym pogubiłam, mogę liczyć na pomoc ?

wiskitki · Post autor: **wiskitki** » 27 cze 2012, o 23:42

\(\displaystyle{ p'\ln p+p(\ln p)'-(1-p)'\ln(1-p)-(1-p)(\ln(1-p))'= \\ = \ln p+p \cdot \frac{1}{p}-(-1) \cdot \ln(1-p)-(1-p) \cdot \frac{1}{1-p} \cdot (-1) = \\= \ln p+1+\ln(1-p)+1=2+\ln p+\ln(1-p)}\)

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 27 cze 2012, o 23:51

W takich sytuacjach zawsze warto poprosić o pomoc Wolframa.
... p%29%29%27

Na ogół nie odmawia.

yvonna · Post autor: **yvonna** » 28 cze 2012, o 00:01

dzięki a jak chcę teraz policzyć maksimum to jak to zrobić?

wiskitki · Post autor: **wiskitki** » 28 cze 2012, o 00:09

Szukasz miejsca zerowego pochodnej:
\(\displaystyle{ 2+\ln p+\ln(1-p)=0 \\ -2=\ln(p(1-p)) \\ e^{-2}=p(1-p) \\ -p^2+p-\frac{1}{e^2}=0 ...}\)

yvonna · Post autor: **yvonna** » 28 cze 2012, o 00:17

i teraz jak znajdę miejsce zerowe, obliczam drugą pochodną podstawiam to wyliczone miejsce zerowe i jak jest ujemne to mam max. ?

Majeskas · Post autor: **Majeskas** » 28 cze 2012, o 00:21

Tak. Możesz też zbadać zachowanie pierwszej pochodnej w otoczeniu tego miejsca zerowego, czyli mówiąc mniej uczenie: rozwiązać nierówność \(\displaystyle{ f'(x)>0}\) lub przeciwną i stwierdzić, czy pochodna przechodząc przez to miejsce zerowe zmienia znak, a jeśli tak, to w jaki sposób. Od tego będzie zależało, czy jest tam ekstremum i jakie.-- 28 czerwca 2012, 00:23 --Przy czym to co otrzymasz, może być tylko ekstremum lokalnym. Jeśli mówiąc maksimum, masz na myśli wartość największą funkcji, to te pojęcia nie są tożsame.