szereg z silniami w liczniku i mianowniku

[matio_turbo]

Mam zbadać zbieżność warunkową i bezwzględną takiego szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n \frac{n!-1}{(2n)!+1}}\)

Próbowałem z Leibniza, ale jak udowodnić, że ten ułamek jest malejący?

A jeśli chodzi o zbieżność bezwzględną to już kompletnie nie mam pojęcia - myślałem o d'Alambercie ze względu na silnie, ale jak coś tutaj skrócić?

[pyzol]

Sprawdź zbieżność bezwzględną dla szeregu:
\(\displaystyle{ \sum_n \frac{n!}{(2n)!}}\)
potem sobie poszacujemy, w zależności co Ci wyjdzie.

[matio_turbo]

\(\displaystyle{ \lim_{ n\to \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty} \frac{(n+1)!}{(2n+2)!} \cdot \frac{(2n)!}{n!} = \lim_{n \to \infty} \frac{n+1}{(2n+1)(2n+2)} = 0}\)

Czyli szereg \(\displaystyle{ \sum_{n+1}^{\infty} \frac{n!}{(2n)!}}\) jest bezwzględnie zbieżny.

[Majeskas]

No prawie

\(\displaystyle{ \frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{(n+1)!-1}{(2n+2)!+1}\cdot\frac{(2n)!+1}{n!-1}=\frac{(n!(n+1)-1)((2n)!+1)}{((2n)!(2n+1)(2n+2)+1)(n!-1)}=\\\\=\frac{\left(n+1-\frac1{n!}\right)\left(1+\frac1{(2n)!}\right)}{\left((2n+1)(2n+2)+\frac1{(2n)!\right)\left(1-\frac1{n!}\right)}}\to0}\)

[pyzol]

Dobrze, teraz wystarczy przyszacować zwiększając licznik i zmniejszając mianownik:
\(\displaystyle{ \frac{n!-1}{(2n)!+1} \le \frac{n!}{(2n)!}}\)
W taki sposób pozbywamy się nieco męczących obliczeń.