Charakteryzacja zbiorów zwartych

[Mikolaj9]

Czy zna ktoś warunek równoważny zwartości (pokryciowej) dla dowolnej przestrzeni topologicznej?

[Majeskas]

W moim skrypcie z Topologii zwartość jest definiowana dla przestrzeni metryzowalnych poprzez warunek pokryciowy lub dwa inne równoważne:

1) z każdego ciągu punktów w \(\displaystyle{ X}\) można wybrać podciąg zbieżny w tej przestrzeni,

2) każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych w \(\displaystyle{ X}\) ma niepuste przecięcie.

a dla dowolnej przestrzeni topologicznej:

I) przestrzeń jest Hausdorffa

ii) spełniony jest warunek pokryciowy.

[Mikolaj9]

Znalazłem: przestrzeń \(\displaystyle{ X}\) jest zwarta wtw. gdy dla dowolnej rodziny scentrowanej podzbiorów \(\displaystyle{ X}\) przecięcie domknięć elementów tej rodziny jest niepuste.

Podobny warunek do:

każdy zstępujący ciąg niepustych zbiorów domkniętych w ma niepuste przecięcie.

Nie wykorzystuje się w nim w ogóle pojęcia metryki, więc może działa dla szerszej klasy przestrzeni?

[Majeskas]

Obstawiam, że problem polega na tym, że dla przestrzeni niemetryzowalnej nie wszystkie równoważności zachodzą. W dowodzie pokazuje się, że

\(\displaystyle{ 2)\ \Rightarrow\ \textrm{pokrycie}}\)

\(\displaystyle{ \textrm{pokrycie}\ \Rightarrow\ 3)}\)

\(\displaystyle{ 3)\ \Rightarrow\ 2)}\)

W dowodzie drugiej implikacji rzeczywiście nie wykorzystuje się istnienia metryki. W dowodach pozostałych implikacji wykorzystuje się metryzowalność. Oczywiście implikację odwrotną do drugiej dostajemy poprzez przechodniość. Przypuszczam (choć mogę się mylić), że bez założenia metryzowalności implikacja odwrotna do drugiej nie zachodzi.