całka funkcji niewymiernej

[barutiel]

Witam.
Może ktoś z Was wie jak rozwiązać taką całkę...

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ (1 + x ^{2}) ^{ \frac{3}{2} } }}\)

[MichalPWr]

\(\displaystyle{ \int \frac{dx}{ \left( 1 + x ^{2}\right) ^{ \frac{3}{2} } }=\int \frac{dx}{ \left( 1 + x ^{2}\right) \cdot \sqrt{ 1 + x ^{2}} }=\begin{vmatrix} x=\tg t\\dx= \frac{dt}{\cos ^2 t}\end{vmatrix}=}\)

\(\displaystyle{ =\int \cos t dt=\sin t=\sin \left( \arctan x\right) +C}\)

[barutiel]

Dziękuję

[OQO]

Wynik mozna jeszcze troche przeksztalcic, \(\displaystyle{ \sin \arc \tg x = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}}\)

[Peszko]

A da się to zrobić z pierwszego podstawienia Eulera ?

[Mariusz M]

Da sie i z pierwszego i z drugiego ale najlepiej to przez czesci

\(\displaystyle{ \int_{}^{} \frac{dx}{ (1 + x ^{2}) ^{ \frac{3}{2} } }\\
=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x^2\right) \sqrt{1+x^2} } \mbox{d}x }\\
=\int{ \frac{1+x^2-x^2}{\left( 1+x^2\right) \sqrt{1+x^2} } \mbox{d}x }\\
= \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1+x^2} } } + \int{ x \cdot \frac{\left( -2x\right) }{\left( 1+x^2\right) \sqrt{1+x^2} } \mbox{d}x }\\
= \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x^2\right) \sqrt{1+x^2} } \mbox{d}x }=\int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1+x^2} } }+ \frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }- \int{ \frac{ \mbox{d}x }{ \sqrt{1+x^2} } }\\
= \int{ \frac{ \mbox{d}x }{\left( 1+x^2\right) \sqrt{1+x^2} } \mbox{d}x }=\frac{x}{ \sqrt{1+x^2} }+C\\}\)

[Peszko]

mógłby mi ktoś powiedzieć gdzie robię błąd
\(\displaystyle{ \int_{}^{}\frac{dx}{(a^{2} + x^{2})^{\frac{3}{2}} }}\) i z pierwszego podstawienia otrzymuję
najpierw \(\displaystyle{ x= \frac{t^{2}-a^{2}}{2t}}\)
różniczkuje i mam \(\displaystyle{ dx= \frac{t^{2} +a^{2}}{2t^{2}} *dt}\)
podstawiam to do wyrażenia całkowanego i mam
po skroceniu \(\displaystyle{ \frac{t*dt}{(t^{2}+a^{2})^{2}}}\)
a tu podstawiając \(\displaystyle{ t^{2}+a^{2}=u}\)
otrzymuję \(\displaystyle{ \frac{du}{2u^{2}}}\)
a całka z tego wynosi \(\displaystyle{ - \frac{1}{2u} + C}\)
a po podstawieniu za u a potem t nie wychodzi to co powinno