Równanie logarytmiczne

[kubus18]

Halo
\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln (1+t^{2})=\frac{1}{x}+c}\)

Mógłby ktoś to po kolei rozpisać(wyliczyć t)? Zupełnie zapomniałem reguł tutaj panujących ...

[loitzl9006]

- mnożysz obustronnie razy \(\displaystyle{ 2}\),

- korzystasz z własności logarytmów \(\displaystyle{ \log _{a} \left( b\right) = d \Rightarrow b=a ^{d}}\)

gdzie

\(\displaystyle{ a=e \\ b=1+t^2 \\ d= \frac{1}{x} + c}\)

- przerzucasz jedynkę na drugą stronę równania,

- pierwiastkujesz obustronnie,

- dostajesz dwa rozwiązania.

[adamglos92]

\(\displaystyle{ \frac{1}{2} \ln (1+t^{2})=\frac{1}{x}+c}\)
\(\displaystyle{ \ln (1+t^{2})=\frac{2}{x}+2c}\)
\(\displaystyle{ e^{\ln (1+t^2)} = e^{\frac{2}{x}+2c}}\)
\(\displaystyle{ 1+t^2= e^{\frac{2}{x}+2c}}\)
\(\displaystyle{ t^2= e^{\frac{2}{x}+2c}-1}\)
\(\displaystyle{ t= \pm \sqrt{e^{\frac{2}{x}+2c}-1}}\)

to co jest wewnątrz logarytmu musi być dodatnie (spełnione). \(\displaystyle{ x\neq 0}\). na koniec to co pod pierwiastkiem musi być nieujemne, czyli \(\displaystyle{ e^{\frac{2}{x}+2c} \ge 1}\) czyli \(\displaystyle{ \frac{2}{x}+2c \ge 0}\).