zbieżnośc i suma szeregu

[Agniezcka]

zbadaj zbieżność szeregu \(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{ \infty } ne^{-2nx}}\)
wyznacz jego sumę i sprawdź czy jego suma jest funkcją ciągłą w przedziale jego zbieżnosci.

[miodzio1988]

zbieżność z kryterium Cauchy'ego sprawdź

[Agniezcka]

A jak dalej?

[forgottenhopes]

Jak sprawdzić czy suma tego szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale zbieżności?

[AdamL]

Jak sprawdzić czy suma tego szeregu jest funkcją ciągłą w przedziale zbieżności?

Jeśli szereg jest w przedziale zbieżności zbieżny jednostajnie to reprezentuje funkcję ciągła w tym przedziale.

[brzoskwinka1]

Rozważmy szereg potęgowy \(\displaystyle{ f(v) = \sum_{n=0}^{\infty} v^n =\frac{1}{1-v}}\) zbieżny w przedziale \(\displaystyle{ (-1 ,1) .}\) Ponieważ jest o niemal jednostajnie zbieżny w tym przedziale, więc:

\(\displaystyle{ \frac{1}{(1-v)^2 } =f' (v) =\sum_{n=0}^{\infty} nv^{n-1}}\)

zatem

\(\displaystyle{ \frac{v}{(1-v)^2 } =vf' (v) =\sum_{n=0}^{\infty} nv^{n}\mbox{ dla } |v|<1}\)

skąd

\(\displaystyle{ \frac{e^{-2x}}{(1-e^{-2x})^2 } =e^{-2x} f' ( e^{-2x}) =\sum_{n=0}^{\infty} ne^{-2nx}\mbox{ dla } x>0.}\)