[MIX][Klub 444] Runda szósta

[Coach]

\(\displaystyle{ 1}\). Dana jest liczba \(\displaystyle{ n=2^{k+1}}\) gdzie \(\displaystyle{ k}\) jest liczbą całkowitą dodatnią większą niż \(\displaystyle{ 1}\). Pokazać, że dla dowolnych dodatnich liczb całkowitych \(\displaystyle{ a_{1}< a_{2}< .... < a_{n}}\) liczba \(\displaystyle{ \prod_{1 \le i<j \le n}^{}(a_{i} + a_{j})}\) ma co najmniej \(\displaystyle{ k+1}\) różnych dzielników pierwszych.

\(\displaystyle{ 2}\). Danych zbiór \(\displaystyle{ n}\) (\(\displaystyle{ n \ge 5}\)) różnych punktów na płaszczyźnie. Dla dowolnego punktu \(\displaystyle{ X}\) z tego zbioru istnieją takie \(\displaystyle{ 4}\) inne punkty ze zbioru które leżą na okręgu o środku w punkcie \(\displaystyle{ X}\) i promieniu \(\displaystyle{ 1}\). Znaleźć największą możliwą wartość \(\displaystyle{ n}\).

\(\displaystyle{ 3}\). Punkt \(\displaystyle{ O}\) jest środkiem okręgu opisanego na trójkącie \(\displaystyle{ ABC}\). Punkty \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\) leżą na prostych odpowiednio \(\displaystyle{ OA}\), \(\displaystyle{ OB}\) i \(\displaystyle{ OC}\) tak, że \(\displaystyle{ OA_1=OB_1=OC_1}\). Pokazać, że proste prostopadłe do prostych \(\displaystyle{ OA}\), \(\displaystyle{ OB}\) i \(\displaystyle{ OC}\) przechodzące przez punkty odpowiednio \(\displaystyle{ A_1}\), \(\displaystyle{ B_1}\) i \(\displaystyle{ C_1}\) przecinają odpowiednie boki trójkąta w trzech współliniowych punktach.

\(\displaystyle{ 4}\). Znaleźć wszystkie nieujemne liczby całkowite \(\displaystyle{ m}\) i \(\displaystyle{ n}\) takie, że \(\displaystyle{ (2^{n} -1)(3^{n} - 1)=m^2}\).

[Swistak]

Trochę żal to 3 zadanko, bo konfiguracja dokładnie taka sama jak w geo sprzed 2 tygodni, tylko teza przekształcona

Ukryta treść:    

z Desarguesa

Btw w drugim oczywiście szukamy najmniejszej, a nie największej takiej liczby \(\displaystyle{ n}\), prawda?

[Coach]

Miniumum:D.

[KPR]

2:    

Rozważmy dwa punkty spośród danych o odległości różnej od 1 (oznaczmy je A i B). Istnieją maksymalnie dwa punkty E takie, że AE=BE=1, zatem muszą istnieć ponadto co najmniej 2 punkty odległe od A o 1 i dwa odległe od B o 1. Zatem wszystkich punktów jest co najmniej 8. Można zauważyć, że jak weźmiemy 9 punktów - trójkąt równoboczny ABC i punkty \(\displaystyle{ C_1,C_2}\) odległe od A i B o 1 i analogicznie punkty \(\displaystyle{ B_1,B_2,A_1,A_2}\), to będą spełniać warunki zadania. Można syfnie udowodnić, że 8 punktów nie może spełniać warunków zadania.