Całka potrójna po obszarze.

[ThorvalD]

Witam.Proszę o pomoc w rozwiązaniu następującej całki:

\(\displaystyle{ \iiint \sqrt{x ^{2} + y ^{2} }\,\text dx\,\text dy\,\text dz}\)
po obszarze ograniczonym krzywmi: \(\displaystyle{ z=-x ^{2}-y ^{2}+2,\ \ z=- \sqrt{x ^{2}+ y ^{2} }}\)

Wszystko teoretycznie liczę dobrze a wynik wychodzi najprawdopodobniej zły.
wstawiam wsp. biegunowe, obliczam punkt przeciecia się tego stożka i paraboloidy (\(\displaystyle{ z=-2}\)) zaznaczam obszar całkowania

\(\displaystyle{ 0 \le r\le 2}\)
\(\displaystyle{ 0 \le \varphi \le 2 \pi}\)
\(\displaystyle{ -r\le h \le2-r ^{2}}\)

jednak wynik wychodzi mi jakieś \(\displaystyle{ \frac{55}{8}\pi}\). Czy ktoś mógłby na szybko rozwiązać tą całkę ( wydaje się na prawde łatwa) i podać wynik jaki mu wyszedł. Z góry bardzo dziękuję.

[octahedron]

\(\displaystyle{ \int_0^{2\pi}\int_0^2\int_{-r}^{2-r^2}r^2\,dzdrd\varphi=\int_0^{2\pi}\int_0^2(2+r-r^2)r^2\,drd\varphi=\int_0^{2\pi}\frac{44}{15}\,d\varphi=\frac{88\pi}{15}}\)

[ThorvalD]

Czyli tak powinno wyjść? Czy obszar całkowania jest na pewno dobry? Bo wynik który dostałem to \(\displaystyle{ \frac{8 \pi }{5}}\)

[octahedron]

Wydaje mi się, że wszystko jest w porządku.