Męczę się właśnie z takim oto zadaniem:
Niech \(\displaystyle{ X}\) będzie rozmaitością różniczkową, \(\displaystyle{ C ^{ \infty}\left( X\right)}\) zbiorem wszystkich gładkich funkcji z \(\displaystyle{ X}\) w \(\displaystyle{ R}\). Dla \(\displaystyle{ x \in X}\) definiujemy \(\displaystyle{ \tau _{x} \left( X\right)}\) jako przestrzeń liniową wszystkich przekształceń liniowych
\(\displaystyle{ v: C ^{ \infty }\left( X\right) \rightarrow R}\)
dla których zachodzi:
\(\displaystyle{ f, g \in C ^{ \infty }\left( X\right) \Rightarrow v\left( fg\right)=v\left( f\right)g\left( x\right)+f\left( x\right)v\left( g\right)}\).
Pokazać:
(a) Jeśli \(\displaystyle{ f: X \rightarrow R}\) jest stałą funkcją i \(\displaystyle{ v \in \tau _{x} \left( X\right)}\), to \(\displaystyle{ v\left( f\right)=0}\)
(b) Jeśli \(\displaystyle{ f \in C ^{ \infty }\left( X\right)}\) jest stała na pewnym otoczeniu \(\displaystyle{ U}\) punktu \(\displaystyle{ x}\) i \(\displaystyle{ v \in \tau _{x} \left( X\right)}\), to \(\displaystyle{ v\left( f\right)=0}\)
(c) Jeśli \(\displaystyle{ U}\) jest otwartym otoczeniem punktu \(\displaystyle{ x}\) w \(\displaystyle{ X}\), to istnieje kanoniczny izomorfizm z \(\displaystyle{ \tau _{x} \left( U\right)}\) na \(\displaystyle{ \tau _{x} \left( X\right)}\)
(d) Rozważmy następujące odwzorowanie:
\(\displaystyle{ \o: T _{x}\left( X\right) \rightarrow \tau _{x} \left( X\right)}\)
\(\displaystyle{ \o\left( \left[ h\right] \right)\left( f\right):=\left( f\circ g\right)' \left( 0\right)}\)
dla \(\displaystyle{ h \in M(X,x)}\) i \(\displaystyle{ f \in C ^{ \infty }\left( X\right)}\).
Pokazać, że \(\displaystyle{ \o}\) jest odwzorowaniem liniowym i iniektywnym, a następnie, że jest izomorfizmem.
Objaśnienia do oznaczeń:
\(\displaystyle{ M(X,x)}\) to zbiór wszystkich gładkich odwzorowań, które mają wartości w \(\displaystyle{ X}\) i są zdefiniowane w otoczeniu \(\displaystyle{ 0}\) w \(\displaystyle{ R}\), przy czym \(\displaystyle{ h\left( 0\right)=x}\)
\(\displaystyle{ T _{x}\left( X\right)}\) to przestrzeń styczna zdefiniowana tak jak tutaj
Moje próby rozwiązania:
(a) jest względnie proste. Niech \(\displaystyle{ f\left( x\right)=c}\) dla każdego \(\displaystyle{ x \in X}\). Z liniowości \(\displaystyle{ v}\) otrzymujemy
\(\displaystyle{ v\left( fg\right)=v\left( cg\right)=cv\left( g\right)}\)
Z drugiej strony mamy:
\(\displaystyle{ v\left( fg\right)=v\left( f\right)g\left( x\right)+f\left( x\right)v\left( g\right)=
v\left( f\right)g\left( x\right)+cv\left( g\right)}\)
Zatem
\(\displaystyle{ v\left( f\right)g\left( x\right) =0}\)
Ponieważ \(\displaystyle{ g}\) jest dowolne, więc \(\displaystyle{ v\left( f\right)=0}\)
Myślę, że to jest poprawne rozwiązanie, ale dalej zaczynają się schody.
(b) Jeżeli rozważymy obcięcie odwzorowania \(\displaystyle{ v}\) do zbioru \(\displaystyle{ C ^{ \infty }\left( U\right)}\), to na tym zbiorze \(\displaystyle{ v\left( f\right)=0}\), ale czy to dowodzi, że równość ta zachodzi na całym \(\displaystyle{ C ^{ \infty }\left( X\right)}\)?
(c) nie wiem
(d) Niech \(\displaystyle{ h, g \in M\left( X,x\right)}\) i niech \(\displaystyle{ \o\left( \left[ h\right] \right)\left( f\right)=\o\left( \left[ g\right] \right)\left( f\right)}\). Z tego wynika, że:
\(\displaystyle{ \left( f\circ h\right)'\left( 0\right)=\left( f\circ g\right)'\left( 0\right)}\)
\(\displaystyle{ f'\left( h\left( 0\right) \right) \cdot h'\left( 0\right)= f'\left( g\left( 0\right) \right) \cdot g'\left( 0\right)}\)
\(\displaystyle{ f'\left( x\right) \cdot h'\left( 0\right) =f'\left( x\right) \cdot g'\left( 0\right)}\)
\(\displaystyle{ f'\left( x\right)\left( h'\left( 0\right)-g'\left( 0\right) \right)=0}\)
Z dowolności \(\displaystyle{ f}\):
\(\displaystyle{ h'\left( 0\right)=g'\left( 0\right)}\)
a zatem, na mocy definicji \(\displaystyle{ T _{x}(X)}\) zachodzi \(\displaystyle{ \left[ h\right]=\left[ g\right]}\).
Czy mogę prosić o sprawdzenie, uzupełnienie i dokończenie?
funkcje określone na rozmaitości różniczkowej
-
brzoskwinka1