Zbieżność ciągów w metryce

[YyyYYyyyY]

Mam sprawdzić czy w \(\displaystyle{ \mathbb{R}^2}\) z metrykami: euklidesową, taksówkową i centrum następujące ciągi:

\(\displaystyle{ x_n=\left(\frac{1}{n},\frac{n}{n+2}\right)\\
y_n=\left(0,\frac{n+1}{n}\right)}\)

są zbieżne.

W metryce euklidesowej można "zgadnąć granicę" \(\displaystyle{ x=(0,1)}\), \(\displaystyle{ y=(0,1)}\) i pokazać, że \(\displaystyle{ \lim_{n \to \infty} d_e(x_n,x)=0=\lim_{n \to \infty} d_e(y_n,y)}\). Co z pozostałymi?

I jeszcze jedno pytanie: rozumiem, że gdybym wykazał równoważność tych trzech metryk to granica tych ciągów wszędzie byłaby taka sama?

[justyskaf]

euklidesowa i taksówkowa (miejska, manhattańska) są rzeczywiście równoważne, ale centrum (węzła kolejowego) nie jest z nimi równoważna, weź np zbiór \(\displaystyle{ \{0\}\times(0,+\infty)}\) w centrum jest otwarty, a w euklidesowej (taksówkowej) nie jest

jak masz dwie metryki równoważne, to zbieżność ciągów jest równoważna (bo mamy takie same otoczenia w tych metrykach)

w centrum w przypadku \(\displaystyle{ x_n}\) nie jest zbieżny, bo jedynym "podejrzanym" punktem jest \(\displaystyle{ (0,1)}\), ale możemy wybrać otoczenie, w którym nie ma żadnego wyrazu ciagu np \(\displaystyle{ \{0\}\times\left(\frac{1}{2},\frac{3}{2}\right)}\), czyli nie jest granicą

w przypadku \(\displaystyle{ y_n}\) jest tak samo jak w euklidesowej bo wszystkie wyrazy ciągu i centrum są współliniowe (leżą na półprostej wychodzącej z centrum)

[Lorek]

Można też pokazać, że w metryce centrum te ciągi nie są ciągami Cauchy'ego, a zatem nie mogą być zbieżne.

[YyyYYyyyY]

weź np zbiór \(\displaystyle{ \{0\}\times(0,+\infty)}\) w centrum jest otwarty, a w euklidesowej (taksówkowej) nie jest

Nie widzę tej otwartości w centrum, możesz to dokładniej opisać? Przecież w takim zbiorze oba punkty pomiędzy którymi badamy odległość i punkt (0,0) będą leżeć na jednej prostej więc z definicji metryka kolejowa zamienia się wtedy na zwykła metrykę Euklidesową.

[justyskaf]

Kulą w metryce centrum jest "odcinek" bez punktów końcowych skierowany w stronę centrum, jeśli jej promień jest mniejszy niż odległość jej środka od centrum