zbieznosc szeregu, sprawdzenie

[gerberotto]

czy to jest dobrze zrobiony szereg?
\(\displaystyle{ \sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(\frac{n^2+1}{n^2}\right)=\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)=
\sum_{n=1}^{\infty}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2\cdot\frac{1}{n^2}}=
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\ln{e}=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}}\)
i to jest szereg zbiezny. Ale to czy to jest dobrze zrobione? Bo nie wiem czy mozna przeksztalcac w szeregu w liczbe eulera, czy tylko w ciagach?

[Lorek]

Na pewno ani przy szeregach ani przy ciągach nie można liczyć zadania "kawałkami". Za to można coś takiego zrobić:
\(\displaystyle{ \ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2\cdot\frac{1}{n^2}}=\frac{1}{n^2}\ln\left(1+\frac{1}{n^2}\right)^{n^2}\le \frac{1}{n^2}\ln e}\)
i skorzystać z kryterium porównawczego (choć równie dobrze można było od razu skorzystać z \(\displaystyle{ \ln(1+x)\le x}\)).