Dowieść, że dla każdej liczby naturalnej...

gerg · Post autor: **gerg** » 27 cze 2009, o 11:31

Jest takie zadanie: dowieść, że dla każdej dodatniej liczby naturalnej zachodzi nierówność \(\displaystyle{ 3^{n} > n^{3}}\)
Łatwo zauważyć, ze nierówność nie zachodzi dla \(\displaystyle{ n=3}\). Rozumiem, ze ten kontrprzykład kończy zadanie i na każdym egzaminie byłaby maksymalna ilość punktów za tego typu kontrprzykład?

Mógłby ktoś dowieść tę nierówność dla \(\displaystyle{ n > 3}\)? Próbowałem, ale nie wychodziło (indukcyjnie).

miodzio1988 · Post autor: **miodzio1988** » 27 cze 2009, o 11:39

gerg pisze:że dla każdej dodatniej liczby naturalnej

Znasz jakieś ujemne liczby naturalne?

\(\displaystyle{ 3^{n+1}= 3^{n}*3>zalozenie> 3* n^{3} >(A)> (n+1)^{3}}\)
\(\displaystyle{ (A)}\) - musisz tylko udowodnić (czyli taką nierowność )

Kontrprzyklad konczy zadanie bo masz kwantyfikator ogólny na samym początku

gerg · Post autor: **gerg** » 27 cze 2009, o 12:05

Dzięki, już wszystko wychodzi, wcześniej głupi błąd robiłem.

miodzio1988 pisze: Znasz jakieś ujemne liczby naturalne?

W zadaniu chodziło o wykluczenie zera, ale akurat w tym podpunkcie to nie ma znaczenia.