równanie z całką

[lavena]

Mam następujące zadanie:

Niech \(\displaystyle{ f:R \rightarrow R}\) będzie gładką funkcją spełniającą warunek \(\displaystyle{ f\left( 0\right)=0}\).
Definiujemy funkcję \(\displaystyle{ g:R \rightarrow R}\) następująco:

\(\displaystyle{ g\left( x\right):= \int_{0}^{1}f'\left( tx\right)dt}\)

Pokazać, że dla każdego \(\displaystyle{ x \in R}\) zachodzi \(\displaystyle{ f\left( x\right)=xg\left( x\right)}\).
To moje rozwiązanie:
\(\displaystyle{ f}\) jest funkcją gładką, stąd jest ciągła i ma funkcję pierwotną. Stosujemy podstawienie:

\(\displaystyle{ tx=u}\)
\(\displaystyle{ xdt=du}\)

\(\displaystyle{ g\left( x\right)= \int_{0}^{x} \frac{1}{x}f'\left( u\right) du= \frac{1}{x}\left[f\left( u\right) \right] ^{x} _{0} = \frac{1}{x} \left( f\left( x\right)-f\left( 0\right) \right)= \frac{1}{x}f\left( x\right)}\)

Stąd \(\displaystyle{ f\left( x\right)=xg\left( x\right)}\).
Jest ok? Co z przypadkiem \(\displaystyle{ x=0}\) ?

[ares41]

Co z przypadkiem \(\displaystyle{ x=0}\) ?

spełniającą warunek \(\displaystyle{ f\left( 0\right)=0}\).

[lavena]

No tak! Dzięki. Ale czy reszta jest ok?

[ares41]

Jak dla mnie Ok.