rozkład funkcji na sumę

[lavena]

Muszę rozwiązać takie zadanie i nie wiem nawet, jak zacząć:
Niech \(\displaystyle{ U}\) będzie otwartą kulą w \(\displaystyle{ R ^{n}}\) o środku w punkcie \(\displaystyle{ 0}\) i niech \(\displaystyle{ f:U \rightarrow R}\) będzie gładką funkcją spełniającą warunek \(\displaystyle{ f\left( 0\right)=0}\). Pokazać, że istnieją gładkie funkcje \(\displaystyle{ g _{1}, ..., g _{n}:U \rightarrow R}\) spełniające warunek:

\(\displaystyle{ f\left( x\right)= \sum_{i=1}^{n}x _{i}g _{i} \left( x\right)}\)

dla wszystkich \(\displaystyle{ x \in U}\).

[octahedron]

Czy tam ma być \(\displaystyle{ x_i}\), czy \(\displaystyle{ x}\) ?

[brzoskwinka1]

... -functions

[lavena]

octahedron, tam ma być na pewno \(\displaystyle{ x _{i}}\)
brzoskwinka1, tak, znam ten dowód, który podlinkowałaś, sama pisałam o nim tu: 302332.htm
Tak się jednak składa, że nie widzę związku pomiędzy nim a wyżej przedstawionym problemem. Mogłabyś mi wyjaśnić?

[brzoskwinka1]

Pokażę, Ci jak to zrobić dla funkcji dwóch zmiennych.
Mamy \(\displaystyle{ \frac{f(x,y) -f(0,y) }{x} = \int_{0}^{1} \frac{ \partial f }{ \partial x } (tx ,y ) dt}\)
\(\displaystyle{ \frac{f(0,y) -f(0,0) }{y}= \int_{0}^{1} \frac{ \partial f }{ \partial y} (0 ,ty ) dt}\) ,
teraz

\(\displaystyle{ f(x,y) =x\cdot \frac{f(x,y) -f(0,y) }{x} +y\cdot \frac{f(0,y) -f(0,0) }{y} .}\)
Dla większej ilości zmiennych robimy analogicznie.

[octahedron]

brzoskwinka1, to na pewno tak ma być? Bo zawsze tak można sobie rozpisać, bez żadnej teorii:

\(\displaystyle{ f(x,y)=f(x,y)-0=f(x,y)-f(0,0)=f(x,y)-f(0,y)+f(0,y)-f(0,0)=\\\\=x\cdot\frac{f(x,y)-f(0,y)}{x}+y\cdot\frac{f(0,y)-f(0,0)}{y}}\)

[lavena]

brzoskwinka1, wszystko jasne. Dziękuję
Ale jednak chciałabym jeszcze prosić o sprawdzenie, czy dobrze zdefiniowałam funkcje.
Definiujemy \(\displaystyle{ g _{i}: U \rightarrow R}\) dla każdego \(\displaystyle{ i=1, ... , n}\) następująco:

\(\displaystyle{ g _{i}\left( x\right):= \int_{0}^{1} \frac{ \partial f}{ \partial x _{i} }\left( 0,...,0,tx _{i},x _{i+1},...,x _{n} \right)dt}\)

[brzoskwinka1]

Tak, jest ok.